函数的值域与最值(教师)

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1、函数的值域与最值1、基本概念(1)函数值和函数值域的概念函数值与函数值域是两个相关概念，函数值是一个局部概念，函数值域是一个整体概念.函数值域是函数值的集合，该函数的所有的函数值都在该函数的值域中，函数的值域中的每一个元素都是该函数的一个函数值.(2)函数的最大值与最小值的定义—般地，设函数y=/(x)的定义域为Q，Xq^D.如果对于任意的XWD,均有Xx)/(x()),则称./(xo)为函数/(x)的最小值，记

2、作.血迪=.心))・注：并不是所有的函数都有最大值与最小值.(3)对最值的理解从图象上看，函数的最大值就是图象上最高处点的纵坐标；函数的最小值就是图象上最低处点的纵坐标.2、常用函数的值域仃)函数:+b(絆0)的值域为；(2)函^y=ax2+bx+c(a工0)的值域：①当a>0时，值域为：②当aVO时，值域为：k⑶函数卩=；(心0)的值域是•*⑷函数v=a(a>0且q$1)的值域是；⑸函数y=los(a>0且的值域是；⑹函数v=sinx,"=cosx(xGR)的值域为；⑺函数y=tan』x7%r+弓，kwz)的值域为.3

3、、求函数值域的方法(1)逐层求值域法：当函数解析式只有一个地方出现自变量X时可用此法。逐层求值域法就是根据X的取值范围一层一层地去求原函数的值域.例1求下列函数的值域(1)尹=3-依；(2)^=—^；2+兀变式求下列函数的值域(l)y=(x>2)；(2)y=x+3xg[1,4]x-1(2)常量分离法：cxd形如P-dx+b(狞°)的函数’这种类型的函数值域经常使用“分离常数法”求解。方法：在分子中配凑岀分母的形式，分离出一个常数，转化为反比例函数求值域问题。x例2求函数尹一的值域。21+1变式：(1)求函数歹一1_x的

4、值域：2x+5(1)求函数/(x)=—,XG[3,51的值域。兀一2（3）反函数法（反解法）:例3求下列函数的值域：2X+15x-l"丄cx+d/八cZv+d/八开广如1y仏工0)；y=(qchO)；(1»-2丫—1；⑵丿一4+'xG[—3,-1]2V+1解析⑴由.v+1AU1侍，2_-1•csinx+d/八ccosx+d/小y-——:[acH0)；y=(acH0)；asinx+bacos兀+b1V2x>0,>0=>j>1或1,可用此法求函数值域。Sr—12v+l方法：先由函数解析式反解出x（厂或sinx或cosx）,（

5、2）反函数法由J—4x+2得A_5-4j寻务03V-3

6、sin(x+T1T(P)—151Idl

7、itp—利用辅助角公式和正、余弦函数的有界性求函数值域。4y+10)101,所以

8、2x(Q0),则X二1-/-r■2・方法：设t=Jcx+d,反解出x=（p[t）代入原函数，・J=—r+汁]=—(/—护-转化为关于f的二次函数值域问题。亠1_3_.5…自t_T即兀一8时，)'max=4f尢最小值.②三角换元(2)令x=3cos0,〃丘[0,Tl],则开纟如尹=QX+b+Jc-CX?（QC工0）可用此法。y=3cos0+4+3sin0=3^sin(〃+》+4.方法：设x=smt或cosf,代入原函数，转化为三角函.兀571.7E数求值域问题。•0<<9<7t,疋才f,•••■左sm(&+”Wl・注意：在

9、用换元法求值域时一定要注意新元的范围对值••1+4,・・Pmax==3^2+4,加n=l.域的影响.变式求下列函数的值域()y=x—yj4—x2；(2)y=2x+4寸1—x解：⑴令x二=2sina(—^