几何直观和空间观念的差异及教学侧重点 2

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1、几何直观和空间观念的差异及教学侧重点东北师范大学孔凡哲东北师范大学第二附属小学王延萍几何直观作为核心名词，2011年底首次出现在小学阶段（尽管2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》早就明确提出了针对“几何直观”的要求“培养和发展学生的…几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求”）；同时，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（《标准（2011年版）》）以下简称首次将几何直观与空间观念、推理能力并列，成为“图形与几何”领域的核心目标的三大组成要素。几何直观与推理能力差异是显而易见的。但是，几何直

2、观与空间观念究竟是什么关系？在教学中，如何有针对性地培养学生的几何直观与空间观念？这些问题都是小学数学领域亟待理清的问题。本文就此阐述。一、几何直观与空间观念的含义差异分析正如《标准（2011年版）》指出的，“直观与推理是图形与几何领域的核心目标”，其中，“空间观念”是指“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言描述画出图形等”，“几何直观”是指“利用图形描述和分析数学问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有

3、助于探索解决问题的思路，预测结果。特别地，空间观念的培养要贯穿整个数学学习过程中”。我们认为，“严格意义上讲，这是针对几何直观的作用的解释性说明，而不是针对几何直观的含义的诠释”，即不是针对“几何直观”的明确定义。对此，我们可以这样定义几何直观：几何直观是指借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（即空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力。几何直观有助于将抽象的数学对象直观化、显性化，因而，寻找数学对象的直观模型是有效发挥几何直观的重要环节之一。作为“图形与几何”的核心名词，几何直

4、观与空间观念分别从不同的角度涵盖了几何学习的重要目标，二者有局部的差异，但是，各有侧重。（一）二者的侧重点非常明显几何直观通常是在有背景的条件下进行的，而借助几何直观“看”出来的结果，往往需要经过逻辑推理的验证。而空间观念侧重于“想象出物体的方位和相互之间的位置关系”，“描述图形的运动和变化”，“依据语言描述画出图形”等等，这些活动未必必须凭借看得见、摸得着的真实图形，而可以凭借语言、头脑的想象物等等。不仅如此，几何直观侧重利用图形整体把握问题，而空间观念侧重于刻画学习者对于空间的感知和把握程度，前者更接近应用层面

5、，可以归为运用图形的能力，后者侧重于几何学习对学习者带来的变化和发展。（二）二者触及的领域各有侧重几何直观侧重于利用图形整体分析和把握数学问题，而这里的问题几乎涉及数学的各个领域，而空间观念大多局限在“图形与几何”领域——虽然有时触及几何与数学的其他分支学科的交叉领域。（三）二者在若干局部领域具有交叉性、重叠性即，对于凭借图形分析其对应的实际物体，二者具有重叠部分，几何直观侧重于整体把握问题、分析解决相关的问题（虽然问题未必都是几何问题），而空间观念侧重于看到图形想到事物，能够进行图形与其相关事物之间的转换等。（四

6、）对于学生的形象思维的发展，二者共同发挥作用在日常教学中，我们应该帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。帮助学生逐步形成初步的几何直观，感受几何直观的作用。特别地，就整个义务教育阶段而言，推理能力的培养必须以学生已有的几何活动经验、几何直观为先导，但必须强调概念或观念的明确定义，以及几何量的代数运算。而学习的内容是由非形式化的推理逐渐提升到形式化的推理，透过直观几何与实验几何的充分学习，对几何对象的熟悉及非形式化的推理，达到知觉性的了解、操作性的了解，进而逐步形成几何推理。当然，在小学阶段，推理能

7、力属于渗透，而不是重点培养，但是，这是整个九年发展推理能力的必不可少的阶段，属于奠基性工作。二、几何直观与空间观念的作用、价值的差异分析几何直观属于直观感知基础之上所形成的理性思考所致，是学习者对于数学对象的几何属性（或与几何属性密切相关的一些属性）的整体把握和直接判断的能力；同时，几何直观是学习者、研究者对于数学对象的全貌和本质进行的直接把握，这种直接判断建立在针对几何图形长期有效的观察和思考的基础之上，既有相对丰富的经验积淀，更有经验基础之上的理性的概括和升华。（一）二者都是图形与几何领域长期学习的积淀所形成的

8、结果，具有连续性1．几何直观需要长期的积淀，即利用图形、采取整体思维的方式把握问题的本质，逐渐形成针对几何图形（及其等价量）的数学直观。例如，看到a2+b2，完全下意识地（自觉地）想到直角三角形的两条直角边的平方和，它等于斜边的平方。2．长期从事图形与几何的操作活动，并善于分析几何活动要素之间的关系，可以逐步形成空间观念。同时，空间观念的发展具有（儿童发展的