专题二：函数值域求法

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1、专题二：函数值域求法(2)(1)>数形结合法(函数的图像)：对于一些函数(如二次函数、分段函数等)的求值域问题，我们町以借助形彖直观的函数图彖来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程人人简化.其题型是函数解析式具有明显的某种儿何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦冃。I%2+2x—3(―2Wxv0),例1、求函数/(%)=的值域.[x2-2x-3(0GW3)分析：求分段函数的值域町作出它的图象，则其函数值的整体变化情况就一目了然了，从而可以快速地求

2、出英值域.解：作图象如图所示.・・・/(-1)=/(1)=-4,/(-2)=-3,/(3)=0,/(0)=-3,・••函数的最大值、最小值分别为0和-4,即函数的值域为[-4,0].例2、求两数尸仏-2尸+J(x+8)2的值域.23BPAIIII>•802解：原函数可化简得：y=lx-2

3、+

4、x+8

5、上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2),B(-8)间的距离之和。由上图可知,当点P在线段AB上时,y=lx-2

6、+

7、x+8

8、=

9、AB

10、=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,y=1X-21+1X+81>

11、AB1=10故所求函数的值域为：4(3,2)例3、求函数y

12、=Vx2-6x+13+7x2+4x+5的值域.解：原函数可变形为：y=J(x-3)_+(0_2)_+J(x+2)~+(0+1)~上式可看成X轴上的点P(x，°)到两定点A(3,2),B(-2,-l)的距离Z和，由图可知当点P为线段与X轴的交点时，畑=

13、AB

14、=J(3+2)2+(2+1)2=莎,故所求函数的值域为[局，+口例4、求函数『=Jx?_6x+13_Jx2+4x+5的值域.解：将函数变形为：y=J（x-3）2+（0-2）2-J（x+2）2+（0-1）2上式可看成定点A（3,2）到点P（x,0）的距离与定点B（-2」）到点P（x,0）的距离Z差。即：y=

15、AP

16、—

17、

18、BP

19、由图可知：（1）当点P在x轴上且不是宜线AB与x轴的交点时，如点P',贝构成AABP,根据三角形两边之差小于第三边，有"API-IBPIIVAB

20、=J（3+2）2+（2-1尸=殛即：_V26

21、

22、AP

23、-

24、BP

25、

26、=

27、AB

28、=V26综上所述，可知函数的值域为:（-^26,726]注：由例17,18可知，求两距离Z和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A,B两点在x轴的同侧。如：例17的A,B两点坐标分别为：（3,2）,（一2，-1）,在x轴的同侧；例18的A,B两点坐标分别为

29、（3,2）,2一1）,在x轴的同侧。【同步练习】1、求函数y=

30、x-l

31、+

32、x-3

33、的值域.2、求函数y=x-3-x+\的值域.3、求函数j=a/x2+4x+5+a/x2-4x+8的值域.4、求函数/（x）=7x2+2x+5+2兀+2的最大值.（2）、分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，因为分子分母都有变虽，利用函数单调性确定其值域较困难，因此，我们可以采用凑配分了的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，而此时的分式，只有分母上含有变量，进而可利用函数性质确定其值域.2X例1、求函数y=的值域.2"+1解：y=2—=^X=——・・

34、・・2'〉0,・・・2"+1〉1,・<—!—<1,2"+12*+12"+1T+1・・・一lv——<0,.<1——<1.・••函数的值域为（0,1）2X+12”+1x—例2、求y=丄丄的值域.x+2解：（利用部分分式法）由歹=入+2_3=］_丄hi,可得值域{yy^}“y+2jc+2小结：已知分式函数〉，=竺主2（CHO），如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）cx+d内，值域为yy^—»；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为,adby=-+——J（adbe）,用复合函数法來求值域。ccx+d（3）、倒数法有时，肓接看不

35、出函数的值域时，把它倒过来之示，你会发现另一番境况厶+2y=例1、求函数兀+3的值域.-s/x~+~~2~x+2H0吋，—=工；2+J-=Jx+2+］->2=>0已/(x)=2x34-6x2+a(a是常数),在［-2,2］上