2019年高考数学一轮复习专题突破练1函数与导数中的高考热点问题理北师大版

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1、专题突破练(一)函数与导数中的高考热点问题(对应学生用书笫231页)1.已矢口函数f(x)=#+;vsinx+cosx.(1)若曲线y=在点(臼，f(R)处与直线y=b相切，求盘与方的值;(2)若曲线y=f(x)与直线尸力有两个不同交点，求b的取值范围.［解］由f(.x)=x+^sinx+cos得f'(劝=*2+cosx).(1)因为曲线y=f(x)在点f(Q)处与直线y=b相切，所以尸(臼)=^(2+cosa)=0,b=f{a).解得a=0,b=f(0)=l.(2)令尸(%)=0,得a=0.当/变化时，f(%)与F3

2、的变化情况如下：X(—8,0)0(0,+°°)f(0—0+f(x)X1/所以函数fd)在区间0)上单调递减，在区间(0,+®)上单调递增，/(0)=1是f(0的最小值.当方W1时，曲线y=f(x)与直线y=Z?最多只有一个交点；当b>i时，f(—26)=f3》4E-2b—Y>4b—2b—>b,f(0)=lV〃，所以存在山丘(一2力,0),曲丘(0,2方)，使得Axi)=f(x2)=b.由于函数代方在区间0)和(0,+^)上均单调，所以当b>时，曲线与直线尸〃有且仅有两个不同交点.综上可知，如果曲线与直线方有两个不同

3、交点，那么方的取值范围是(1,+°°).2.设已为实数，函数/'(^)=eK~2x+2af曲R.(1)求fd)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln2—1且x>0时，e">#—2m+1.［解］⑴由A%)=e"-2%+2a,%eR,知尸(方=『一2,xWR.令尸(方=0,得x=ln2.于是当X变化时,F(0,f(0的变化情况如下表:X(—8,In2)In2(In2,+oo)f3—0+fx)2-21n2+2日7故fd)的单调递减区间是In2),单调递增区间是(In2,+-),代方在x=]n2处取得极小值，极小值为f(

4、ln2)=eln2-21n2+2$=2—21n2+2乩(2)证明：设g{x)=ex—x+2ax—1,xWR,于是03=e"—2/+2曰，xER.由(1)知当5>ln2—1时，g3取最小值为gz(In2)=2(l-ln2+曰)>0.于是对任意xWR,都有0(x)>0,所以gd)在R内单调递增.于是当^>ln2—1时，对任意(0,+8),都有g3>g(o)•而g(0)=0,从而对任意(0,+8),都有g{x)>0.即ex—x+2ax—1>0,故当c?>1n2—1且x>0时，ev>%—2a%+l.1.(2018・兰州模拟)已

5、知函数心)的导函数为尸3,且f(x)=

6、r⑴x+xlnx.(1)求函数fd)的极值；(2)若©L,.且代力>£匕一1)对任意的xe(l,+«)都成立，求斤的最大值.【导学号：79140098][解]⑴尸3=訂⑴+l+lnx(x>0),所以尸(1)=*尸(1)+1,即尸(1)=2,所以f(x)=x+xlnx,f'(方=2+Inx,令尸d)=2+ln/<0,解得0V^0,所以函数在(0,e_2)上单调递减，在(「，+s)上单调递增，所

7、以函数料劝在x=e_2处取得极小值Ae~2)=-e-2,没有极大值.(2)由(1)及题意，知«<虫4=2：入对任意的區(1,+oo)都成立，X—1X—1x—Inx—2a-1)2Az、x+xx,、、令g{x)=—-—y—匕＞1)，贝Ijg(方=令h{x)=x—ln2(%>1),v—1则夕u)=i--=-—>0,xx所以函数力(劝在(1,+8)上为增函数，因为A(3)=l-ln3<0,A(4)=2-ln4>0,所以方程力(劝=0存在唯一实根%0，即InAo=Ao-2,*)W(3,4).所以当lVx

8、,即(x)V0,当时，h^x)>0,即(x)>0,所以函数g(0在(1,必)上单调递减,在(必，+->)上单调递增，所以g3nin=g(Ab)心+必1(1%0—1AoAb(l+Ao—2)一=—百—F'所以k

9、(1)由题意尸(%)=x2-^,所以当a=2时，f(3)=0,F(%)=x—2x,所以尸(3)=3,因此，曲线y=f(x)在点(3,H3))处的切线方程是尸=3匕一3),即3才一y—9=0.(2)因为g(x)=f(x)+(x—a)cosx—sinx,所以0(x)=f1(x)+cosx—{x~a)sinx—cosx=x{x~a)—{