2020版高考数学一轮复习高考大题增分课1函数与导数中的高考热点问题教学案理北师大版

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1、高考大题增分课函数与导数中的高考热点问题[命题解读]　函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，函数与导数是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有．利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的单调性、极值与最值等是高考命题的重点与热点之一，主要有以下命题角度：(1)利用导数研究函数的单调性、

2、极值、最值；(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围．【例1】　(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．[解]　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上递增．若a＞0，则当x∈时，f′(x)＞0；当x∈时，f′(x)＜0.所以f(x)在区间上递增，在区间上递减．(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在区间(0，＋

3、∞)上无最大值；当a＞0时，f(x)在x＝处取得最大值，最大值为f＝ln＋a＝－lna＋a－1.因此f＞2a－2，即lna＋a－1＜0.令g(a)＝lna＋a－1，则g(a)在区间(0，＋∞)上递增，g(1)＝0.于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0.因此，a的取值范围是(0,1)．[规律方法]　(1)研究函数的性质，必须在定义域内进行，因此利用导数研究函数的性质，应遵循定义域优先的原则.(2)讨论函数的单调性，求函数的单调区间、极值问题，最终归结到判断f′(x)的符号问题上，

4、而f′(x)＞0或f′(x)＜0，最终可转化为一个一元一次不等式或一元二次不等式问题.(3)若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解.(2019·南昌模拟)设函数f(x)＝lnx－2mx2－n(m，n∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有最大值－ln2，求m＋n的最小值．[解]　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－4mx＝，当m≤0时，f′(x)＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上递增；当m＞0时，令f′(x)＞0得

5、0＜x＜，令f′(x)＜0得x＞，∴f(x)在上递增，在上递减．(2)由(1)知，当m＞0时，f(x)在上递增，在上递减．∴f(x)max＝f＝ln－2m·－n＝－ln2－lnm－－n＝－ln2，∴n＝－lnm－，∴m＋n＝m－lnm－.令h(x)＝x－lnx－(x＞0)，则h′(x)＝1－＝，∴h(x)在上递减，在上递增，∴h(x)min＝h＝ln2，∴m＋n的最小值为ln2.利用导数研究函数的零点问题研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，为此，我们可以通过讨论函数的单调性来解决，求解时应注重

6、等价转化与数形结合思想的应用，其主要考查方式有：(1)确定函数的零点、图像交点的个数；(2)由函数的零点、图像交点的情况求参数的取值范围．【例2】　(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.[解]　(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．(ⅰ)若a≤0，则f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，＋∞)递减．(ⅱ)若a>0，则由f′(

7、x)＝0得x＝－lna.当x∈(－∞，－lna)时，f′(x)<0；当x∈(－lna，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，－lna)递减，在(－lna，＋∞)递增．(2)(ⅰ)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点．(ⅱ)若a>0，由(1)知，当x＝－lna时，f(x)取得最小值，最小值为f(－lna)＝1－＋lna.①当a＝1时，由于f(－lna)＝0，故f(x)只有一个零点；②当a∈(1，＋∞)时，由于1－＋lna＞0，即f(－lna)>0，故f(x)没有零点；③当a∈(0,1)

8、时，1－＋lna＜0，即f(－lna)＜0.又f(－2)＝ae－4＋(a－2)e－2＋2>－2e－2＋2>0，故f(x)在(－∞，－lna)有一个零点．设正整数n0满足n0＞ln，则f(n0)＝en0(aen0＋a－2)－n0＞en0－n0＞2n0－n0＞0.由于ln＞－lna，因此f(x)在(－lna，＋∞)有一个零点．综上，a的取值范围为(0,1)．[规律方法]　利用导数研究函数零点的两种常用方法(1)用导数研究函数的单调性，借助零点存在性定理判断；