知识讲解-直线、平面平行的判定和性质(基础)

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1、直线、平面平行的判定和性质【考纲要求】1、掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；2、常握两个平面平行的判定定理和性质定理.3、能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题。【知识网络】【考点梳理】考点一、直线与平面平行的判定1、判定定理：（1）内容：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（2）符号语言：mua■=>//?«Iffm2、判定直线与平面平行，主要有三种方法：（1）利用定义（常用反证法）；（2）利用判定定理：关键是找平面内

2、与己知直线平行的直线。可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平血找其交线。（3）利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一平面。要点诠释：线面平行关系没有传递性，即平行线中的一条平行于一平面，另一条不一定平行于该平面。考点二、直线与平面平行的性质1、性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平而和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.2、符号语言：考点三、平面与平面平行的判定1、面面平行的定

3、义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行.2、图形表示：画两个平面平行吋，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的.3、平行平面的判定定理：如果一个平而内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行.4、符号语言：么u0.bugaf]b=P•=>0〃住ab/ltx£5、判定平面与平面平行的常用方法：①利用定义（常用反证法）；②利用判定定理：转化为判定一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面。客观题中，也可直接利用一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面的

4、两条相交线來证明两平面平行；③利用面面平行的传递性：allii^^ally.④利用线面垂直的性质:nallpo考点四.平面与平面平行的性质1、平行平面的性质定理：如果两个平行平而同时与第三个平而相交，那么它们的交线平行.2、符号语言：aBfl^(}a=^ynfl=b=>«ff*3、面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.符号语言：aitQquadaR0要点诠释：平面与平面平行的判定与性质，同直线与平面平行的判定与性质一样，体现了转化与化归的思想。三种平行关系

5、如图：性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行化为线而平行并进而化为线线平行，注意作平而时要有确定平面的依据。【典型例题】类型一、直线与平面平行的判定例1、如图所示，已知P、Q是单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面A1B1BA和面ABCD的中心。证明：PQ//平面BCC1B1【证明】方法一：如图，取B1B屮点E,BC屮点F,连接PE、QF、EF,因为在三角形A1B1B中，P、E分别是A1B和B1B的中点，所以PE//-A1B1,=2同理,QF//-AB,=2又

6、因为AlBlgAB,所以PEgQF所以四边形PEFQ是平行四边形，所以PQ//EF.又PQ

7、一反三:【变式】如图，矩形ABCD和梯形BEFC有公共边BC,BE//CF,ZBCF二90°,求证：AE//平面DCF又ABCD为矩形，所以AD=EG,从而四边形ADGF为平行四边形，故AE//DG。因为AE?平面DCF,DGU平面DCF,所以AE//平面DCF【点评】作EG丄CF于GtAD£EGtAE//DGtAE//平面DCF类型二、直线与平面平行的性质例2、如图，在四面体ABCD中，截面EFGII平行于对棱AB和CD,试问截面在什么位置时其截面面积最大。I）【解析】先利用线面平行的性质，判是截

8、面形状，再建立面积函数求最值。TAB//平面EFGH,平面EFGH与平而ABC和平面ABD分别交于FG、EH,.AB//FG,AB//EH,•••FG//EH,同理可证EF//GH,A截面EFGH是平行四边形。设AB=a,CD=b,ZFGH=a（a即为异面.直线AB和CD所成的角或其补角）。又设gg,则由平面儿何知识可彳吟II讣罟,两式相加得一+—=1,即y=—（tz—x）abaSefgh~FGHHHna-（a一x）Zsina-加""x（a一%）.aaVx>-x>0