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《第二讲：分类讨论思想在解题中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第二讲：分类讨论思想在解题中的应用一、知识整合1•分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究吋，就需要对研究对象按某个标進分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。3•分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。4.分类方法：明确讨论的对象；(2)确定分类的标准；(3)逐步进行讨论；(4)归纳小
2、结得结论5.含参数问题的分类讨论是常见题型。6.注意简化或避免分类讨论。二、例题分析例1过点M(3,2)向圆(x-2)2+(y+3)2=1所引的切线的方程是。分斜率存在和不存在进行讨论x=3或12x—5y—26=0例］2一条直线过点(5,2),且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为分析：设该直线在x轴，y轴上的截距均为a,2当沪0时，直线过原点，此时直线方程为y=-x,即2x—5y=0；当QHO时，设直线方程为-+^=1,则求得a=7,方程为x+y—7=0。aa例3若函数/(x)=-(€Z-l)x3+丄俶2—丄兀+丄在其定义域内有极值点，则a的取值为3245解析：即/(兀)=(。一1)
3、/+血一丄有解当a-l=0时，满足当a-lHO时，只需A=a2-(a~1)>0答案:4_1-亦十-1+V5a<或g>22例4解关于x的不等式：ax1-(6f+l)x+l<0分析：这是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a分类：(1)4工0(2)a-0,对于(2),不等式易解；对于(1),又需再次分类：a>0或a〈0,因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根Z外，还是在两根之问。而确定这一点之后，又会遇到1与丄谁a大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题吋，需要作三级分类。解：(1)当G=0时，原不等式化为-x+l<0:.X>1⑵当
4、。工00寸，原不等式化为a(x-\x-一)<0a①若dvO,贝I」原不等式化为(x-1)(%-丄)>0a•/—<0/.—<1・•・不等式解为xv丄或r>1aaa②若a>0,则原不等式化为(x-l)(x-丄)<0a(z)当G>1时丄V1,不等式解为丄VXV1aa(“)当G=1时丄=1,不等式解为兀W0a(加)当0vav1时,丄>1,不等式解为1v兀v丄aa综上所述，得原不等式的解集为当gvO时，解集为｛兀xv丄或x:>l»；当°=0时，解集为｛xx>｝；当0VQV1时，解集为x^ll时,解集为jxf^0且a1，试求使方程l
5、ogw(x-ak)=logrt2(x2-a2)有解的k的収值范围。解：原方程可化为oga(x-ak)=log“Vx2-a2x-ak-Jx2-a2令/(x)=x-ak,g(x)=^Ix2-a2(x-ak>OMx2-a2>0)则对原方程的解的研究，可转化为对函数/(兀)、g(x)图象的交点的研究下图画出了g(Q的图象，市图象可看出(1)当直线f(x)=x-ak过点A©,0),A2(a,0)时，与双曲线无交点，此时k=±l即当k=±l时，原方程无解；(1)当直线f(x)=x-ak过原点O(0,0)时，/(兀)图象与双曲线渐近线重合，显然直线与双曲线无交点，即当k二0时，原方程无解；(2)当直
6、线/(x)=x-ak的纵截距满足一a<-ak<0^-ak>a,即0vkvl或kv3-1时，直线与双曲线总有交点，原方程有解。综上所述，当Zre(-oo,-1)U(0,1)时，原方程有解。例6设函数/(力二血彳―3x+l(xw/?),若对于任意的xg
7、-1,1］都有/(%)>0成立，则实数Q的值为几？解：若兀=0,贝怀论Q取何值，/(兀)$0、31a_23可化为：XX设对<,则⑴显然成立；当兀>°即兀W［T'l］时，/⑴=用一％+1$0x4上单调递增，在区间L2」上单调所以g")在区间g(x)“=8递减，因此max当x<0即g⑴答案：31-/x_3(1—2%)j［T，°)时，/(兀)=曲一
8、3兀+130可化为。"x3f8X在区间［7°)上单调递增，因此&(叽“P(T)=4,从而QW4,4综上。=4略解:2已知函数f(x)=xalnx,讨论函数/(兀)的单调性。X—cix+2/(X)=2时,函数/(兀)在(O.+oo)上单调递增;(2)当^ZG(2V2,+oo)时,函数y(x)a递增;ci—Ja~—8ci+J/_8、2，2/上单调递减.、+OO上单调例8已f(x)=x+—(a>0),且当xe[1,3]时,fm.n(x)
