第20讲时变电磁场(3)

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1、第20讲时变电磁场(4)本节内容:1,复坡印廷定理2,时变电磁场的唯一性定理3,时变电磁场的波动性4,时变电磁场的位函数一，复坡印廷定理坡印廷定理：r———「I—=]ExHdS+「八EdVdt4由焦耳定律，单位体积内的损耗功率为J'E,右边第二项为体积y内的损耗功率。左边为电磁能量的减少率。体积7内电磁能量的有两种原因：一是损耗掉而转化为其它形式的能量，另一是转移到卩之外。式中第一项代表的是通过s流出体积r的功率。若媒质为无耗的（”=°）,则=JbENU=0,此时，/内功率的减少就等于流出7的表面S的功率。另外

2、，引如一个新矢量一-坡印廷矢量（W/川）S=ExHs的方向为流动的方向,大小为垂直流过单位面积的功率。空间只要有电场和磁场同时存在，就会有能量流通。坡印廷矢量的复数表示形式：11S(t)=—Re[EXH*]+—Re[EX22复坡印廷矢量：1S=-ExH*2s称为复坡印廷矢量，它与时间》无关，表示复功率流密度，其实部为平均功率流密度(有功功率流密度)，虚部为无功功率流密度。它在一个周期T=1n/Q内的平均值为1=7=Re丄ExH*2=Re[5]下面研究复坡印廷定理:由矢量恒等式可知：1•*1.=-HVxE——EV

3、xH22整理可得：(1..*)-V--ExH(2丿--sE2}+-EJ4J2对其两端取体积分，便得到相应的积分形式:•ds(1.・*)b丿=J2(ol转歼冷肿”+这就是用复矢量表达的坡印廷定理，称为复坡印廷定理分别取其实部和虚部，得Re2ds=lg穴J血訂^oE2dv4咻切和2*”2叫炒一严2）代表单位体积中间变化率。说明如下:设E（t）=Ecos（曲+0）H（t）=Hcos（otf+血）则单位体积内，电场磁场储能瞬时值为:11We=—^E2COS2（69?+^）=才比2[l+cos（2曲+20）]11Wm=—

4、piH2cos2{cot+血）——pH2[1+cos（2曲+20）]其一周期内平均值为:we-=^wedt=^单位体积电、磁场储能瞬时值为+juH2sin（2曲+2血）+*应2$也（2曲+20）由于储能是电磁场的无功功率部分，其磁场与电场的相位将是正交的，即191°・=2^9—jljHsin(269f+20)—~£Esin(269^+2札)因此该时间变化率的最大值为(1]、=2co-liH2——应2max(4尸4丿由此可见,流进S内的复能流密度矢量通量的实部等于S内消耗的功率，虚部表示交换。［例］已知矩形波导中

5、主模的电磁场为:入j—r•E=yEGsm—xcos(初一/3z)H=-x-^—E0sin—xcos(o>r-(3z)copa+i-71Eocos—xsin-/3z)cojLiaa求通过矩形波导横截面的平均功率。Vli(07Vf)pins旳x/+x—11〃乙•乙2L八2LDllCD[2-7严S诅亍lico乙vlico汐〜刀兀云叫‘"3^-y~=Hv:翎9x-ms^=HIIII12a

6、&1s1.naSVE(r),H(r)二，时变电磁场的唯一性定理对于t>0的所有时刻，由曲面S所围成的闭区域V内的电磁场是由V内的电磁

7、场E,H在t=0时刻的初始值，以及ao时刻边界面S的切向电场或者切向磁场所唯一确定。E{(r)orH{(r)证明仍然采用反证法。略三，时变电磁场的波动性麦克斯韦第一方程和第二方程说明，变化的电场激发磁场，变化的磁场激发电场。一旦交变的场源在空间激发起电磁场，由于电场和磁场的相互激发，即使场源消失，电磁场仍可独立地存在，并由近及远地向外传播，从而形成电磁波。任何波动都满足一个共同的规律波动方程。下面从麦克斯韦方程出发导出电磁场的波动方程。1,波动方程若媒质是不导电的，在无源区域:VxH—VxH=£——dt(5.7

8、-1)-dHVxE=—Lidt(5.7-2)VH=0(5.7-3)7・E=0(5.7-4)vX(5.7-1):VxVx//=将(5.7-2)代入:VxVx//=d2H~dF而：VxVxH=V(V^)-V2^又考虑到（5.7-3）:V2H以彎=0dt2H的波动方柱(5.75)同理可得：V2E以聲=0dt2对于简谐场，由复数形式的麦克斯韦方程可导出复数形式的波动方程：V2H+k2H=0V2E^-k2E=0若媒质是导电的，将存在传导电流J=oE,则麦克斯韦第一方程复数形式为：E=jcosEVxH=cE+jcosE-

9、jcos+其中:媒质的复介电常数/2hv2e此时波动方程为:—复波数+k^H=0+k^E=O2,波动方程解的性质由(5.7-5)、(5.7-6),E或方的任一分量0（兀,V，z）的方程为:»"許0=>令*=1丄也=0V2dt2通过一简单情况分析其解的性质:设0只是x和（的函数，贝U：在无界空间,Fyj1d2l//_dx2v2dt2其达朗贝尔解为:(5.7-7)x先看丿.'X、®—I