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时间:2019-08-21
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1、.极坐标与参数方程15道典型题1在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆,直线的极坐标方程分别为,.(1)求与的直角坐标方程,并求出与的交点坐标;(2)设为的圆心,为与交点连线的中点.已知直线的参数方程为(为参数,),求的值.(1)由极直互化公式得:………4分联立方程解得交点坐标为………5分(2)由(1)知:,所以直线:,化参数方程为普通方程:,对比系数得:,………10分2.极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位,以原点为极点,以轴正半轴为极轴,曲线的极坐标方程为,曲线的参数方程为,(是参数,是常数)(1)求的直角
2、坐标方程和的普通方程;(2)若与有两个不同的公共点,求的取值范围.解:(1)由极直互化公式得,所以;---------------2分..消去参数得的方程:----------------------4分(2)由(1)知是双曲线,是直线,把直线方程代入双曲线方程消去得:,-------------------------7分若直线和双曲线有两个不同的公共点,则,解得:-----------10分3.已知椭圆,直线(为参数).(I)写出椭圆的参数方程及直线的普通方程;(II)设,若椭圆上的点满足到点的距离与其到直线的距离相等,求点的坐标.解
3、:(Ⅰ)C:(θ为为参数),l:x-y+9=0.…4分(Ⅱ)设P(2cosθ,sinθ),则
4、AP
5、==2-cosθ,P到直线l的距离d==.由
6、AP
7、=d得3sinθ-4cosθ=5,又sin2θ+cos2θ=1,得sinθ=,cosθ=-.故P(-,).…10分4..在极坐标系Ox中,直线C1的极坐标方程为ρsinθ=2,M是C1上任意一点,点P在射线OM上,且满足
8、OP
9、·
10、OM
11、=4,记点P的轨迹为C2.(Ⅰ)求曲线C2的极坐标方程;(Ⅱ)求曲线C2上的点到直线ρcos(θ+)=的距离的最大值.解:(Ⅰ)设P(ρ,θ),M(ρ1,
12、θ),依题意有ρ1sinθ=2,ρρ1=4.消去ρ1,得曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.………………………………5分(Ⅱ)将C2,C3的极坐标方程化为直角坐标方程,得C2:x2+(y-1)2=1,C3:x-y=2...C2是以点(0,1)为圆心,以1为半径的圆,圆心到直线C3的距离d=,故曲线C2上的点到直线C3距离的最大值为1+.………………………………105.在极坐标系中,曲线的极坐标方程为。现以极点为原点,极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数)。(1)写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)设直
13、线和曲线交于两点,定点,求的值。【解】(1),所以。所以,即。…………………………直线的普通方程为。……………………………………(2)把的参数方程代入得:。设对应参数分别为,则,点显然在上,由直线参数的几何意义知。…………………………6.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.(Ⅰ)写出⊙C的直角坐标方程;(Ⅱ)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标..解:(I)由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.∴ρ2=2,化为x2+y2=
14、,配方为=3.……5分..(II)设P,又C.∴
15、PC
16、==≥2,因此当t=0时,
17、PC
18、取得最小值2.此时P(3,0).……10分7.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos(θ-)=1,M、N分别为C与x轴、y轴的交点.(Ⅰ)写出C的直角坐标方程,并求出M、N的极坐标;(Ⅱ)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.解:(1)将极坐标方程ρcos=1化为:ρcosθ+ρsinθ=1.则其直角坐标方程为:x+y=1,M(2,0),N(0,),其极坐标为M(2,0),N.(2)由(1)知
19、MN的中点P.直线OP的直角坐标方程为y=x,化为极方程为:ρsinθ=·ρcosθ.化简得tanθ=,即极坐标方程为θ=.8.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C1的极坐标方程为ρ2=,直线l的极坐标方程为ρ=.(Ⅰ)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程;(Ⅱ)设Q为曲线C1上一动点,求Q点到直线l距离的最小值.【解答】(Ⅰ)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,..曲线C1的极坐标方程为ρ2=,直线l的极坐标方程为ρ=,根据ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,则C1
20、的直角坐标方程为x2+2y2=2,直线l的直角坐标方程为.(Ⅱ)设Q,则点Q到直线l的距离为=,当且仅当,即(k∈Z)时取等号.∴Q点到直线l距离的最小值为.9.在直角坐标系xOy中,曲线C1
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