典型极坐标参数方程练习题带答案

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1、.极坐标参数方程练习题1.在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.解:(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为ρcosθ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.(2)将θ=代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.故ρ1-ρ2

2、=,即

3、MN

4、=.由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.4.(2014·辽宁,23,10分,中)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出C的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,经变换为C上点(x,y),依题意,得由x+y=1得x2+=1.即曲线C的方程为x2+=1.故C的参数方程为(t为参数).(2)由解得或不妨设P1(1

5、,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线斜率为k=,..于是所求直线方程为y-1=.化为极坐标方程,并整理得2ρcosθ-4ρsinθ=-3,即ρ=.(2)(2015·吉林长春二模,23,10分)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos=1,M,N分别为曲线C与x轴,y轴的交点.①写出曲线C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;②设M,N的中点为P,求直线OP的极坐标方程.【解析】 (1)将2ρcos2θ=sinθ两边同乘以ρ,得2(ρcosθ)2=ρsinθ,化为直角

6、坐标方程为2x2=y,①C2:ρcosθ=1化为直角坐标方程为x=1,②联立①②可解得所以曲线C1与C2交点的直角坐标为(1,2).(2)①∵ρcos=1,∴ρcosθ·cos+ρsinθ·sin=1.又∴x+y=1,即曲线C的直角坐标方程为x+y-2=0.令y=0,则x=2;令x=0,则y=.∴M(2,0),N.∴M的极坐标为(2,0),N的极坐标为...②M,N连线的中点P的直角坐标为,P的极角为θ=.∴直线OP的极坐标方程为θ=(ρ∈R).注:极坐标下点的坐标表示不唯一.【点拨】 解答题(1)的关键是掌握直角坐标化为极坐标的方法;题

7、(2)先转化为直角坐标问题求解,再转化为极坐标.(2013·课标Ⅰ,23,10分)已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).【解析】 (1)将消去参数t,化为普通方程为(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.将代入x2+y2-8x-10y+16=0,得ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.所以C1的极坐标方程为ρ2-8

8、ρcosθ-10ρsinθ+16=0.(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.联立C1,C2的方程解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为,.【点拨】 本题主要考查圆的参数方程、极坐标方程和标准方程以及圆与圆的位置关系,解题的关键是将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解.(2012·辽宁,23,10分)在直角坐标系xOy中,圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x-2)2+y2=4...(1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示);(2)求圆C1与C2的

9、公共弦的参数方程.解:(1)由知圆C1的极坐标方程为ρ=2,圆C2的极坐标方程为ρ=4cosθ.解得ρ=2,θ=±,故圆C1与圆C2的交点坐标为,.注:极坐标系下点的表示不唯一.(2)方法一:由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1,),(1,-).故圆C1与C2的公共弦的参数方程为(-≤t≤).方法二:将x=1代入得ρcosθ=1,从而ρ=.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为.5.(2015·河北邯郸二模,23,10分)已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,直线l的参数方程为(t为参数),点A的极坐标为,设直线l与圆C交于点P,Q.(

10、1)写出圆C的直角坐标方程;(2)求

11、AP

12、·

13、AQ

14、的值...解:(1)因为圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,所以ρ2=2ρcosθ,将其转化成直角坐标方程为x2+y2=2x,即(x-1)2

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