典型极坐标参数方程练习题带答案

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1、.极坐标参数方程练习题1．在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．解：(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.故ρ1－ρ2

2、＝，即

3、MN

4、＝.由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.4．(2014·辽宁，23，10分，中)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，经变换为C上点(x，y)，依题意，得由x＋y＝1得x2＋＝1.即曲线C的方程为x2＋＝1.故C的参数方程为(t为参数)．(2)由解得或不妨设P1(1

5、，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，..于是所求直线方程为y－1＝.化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，即ρ＝.(2)(2015·吉林长春二模，23，10分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．①写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；②设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．【解析】　(1)将2ρcos2θ＝sinθ两边同乘以ρ，得2(ρcosθ)2＝ρsinθ，化为直角

6、坐标方程为2x2＝y，①C2：ρcosθ＝1化为直角坐标方程为x＝1，②联立①②可解得所以曲线C1与C2交点的直角坐标为(1，2)．(2)①∵ρcos＝1，∴ρcosθ·cos＋ρsinθ·sin＝1.又∴x＋y＝1，即曲线C的直角坐标方程为x＋y－2＝0.令y＝0，则x＝2；令x＝0，则y＝.∴M(2，0)，N.∴M的极坐标为(2，0)，N的极坐标为...②M，N连线的中点P的直角坐标为，P的极角为θ＝.∴直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．注：极坐标下点的坐标表示不唯一．【点拨】　解答题(1)的关键是掌握直角坐标化为极坐标的方法；题

7、(2)先转化为直角坐标问题求解，再转化为极坐标．(2013·课标Ⅰ，23，10分)已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．【解析】　(1)将消去参数t，化为普通方程为(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8

8、ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.联立C1，C2的方程解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为，.【点拨】　本题主要考查圆的参数方程、极坐标方程和标准方程以及圆与圆的位置关系，解题的关键是将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解．(2012·辽宁，23，10分)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4...(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的

9、公共弦的参数方程．解：(1)由知圆C1的极坐标方程为ρ＝2，圆C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.解得ρ＝2，θ＝±，故圆C1与圆C2的交点坐标为，.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)方法一：由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，－)．故圆C1与C2的公共弦的参数方程为(－≤t≤)．方法二：将x＝1代入得ρcosθ＝1，从而ρ＝.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为.5．(2015·河北邯郸二模，23，10分)已知圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l的参数方程为(t为参数)，点A的极坐标为，设直线l与圆C交于点P，Q.(

10、1)写出圆C的直角坐标方程；(2)求

11、AP

12、·

13、AQ

14、的值．..解：(1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，所以ρ2＝2ρcosθ，将其转化成直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2