大学线性代数期末考试题及答案（合集）

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1、×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）1.若，则__________。2．若齐次线性方程组只有零解，则应满足。3．已知矩阵，满足，则与分别是阶矩阵。4．矩阵的行向量组线性。5．阶方阵满足，则。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分）1.若行列式中每个元素都大于零，则。（）2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（）3.向量组中，如果与对应的分量成比例，则向量组线性相关。（）4.，则。（）5.若为可逆矩阵的

2、特征值，则的特征值为。()三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分)1.设为阶矩阵，且，则（）。①②③④42.维向量组（3£s£n）线性无关的充要条件是（）。①中任意两个向量都线性无关②中存在一个向量不能用其余向量线性表示③中任一个向量都不能用其余向量线性表示④中不含零向量3.下列命题中正确的是()。①任意个维向量线性相关②任意个维向量线性无关③任意个维向量线性相关④任意个维向量线性无关4.设，均为n阶方阵，下面结论正确的是()。①若，均可逆，则可逆②若，均可

3、逆，则可逆③若可逆，则可逆④若可逆，则，均可逆5.若是线性方程组的基础解系，则是的（）①解向量②基础解系③通解④A的行向量四、计算题(每小题9分，共63分)1.计算行列式。解·2.设，且求。解.，3.设且矩阵满足关系式求。4.问取何值时，下列向量组线性相关？。5.为何值时，线性方程组有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。①当且时，方程组有唯一解；②当时方程组无解③当时，有无穷多组解，通解为6.设求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。7.设，求的特征值及对应

4、的特征向量。五、证明题(7分)若是阶方阵，且证明。其中为单位矩阵。×××大学线性代数期末考试题答案一、填空题1.52.3.4.相关5.二、判断正误1.×2.√3.√4.√5.×三、单项选择题1.③2.③3.③4.②5.①四、计算题1.2.，3.4.当或时，向量组线性相关。5.①当且时，方程组有唯一解；②当时方程组无解③当时，有无穷多组解，通解为6.则，其中构成极大无关组，7.特征值，对于λ1＝1，，特征向量为五、证明题∴，∵一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。每小题给出的四个选项中，只有一项

5、符合题目要求）1、设，为n阶方阵，满足等式，则必有（）(A)或;(B)；（C）或;(D)。2、和均为阶矩阵，且，则必有（）(A)；(B)；（C）.(D)。3、设为矩阵，齐次方程组仅有零解的充要条件是（）(A)的列向量线性无关；(B)的列向量线性相关；（C）的行向量线性无关；(D)的行向量线性相关.4、阶矩阵为奇异矩阵的充要条件是（）(A)的秩小于；(B)；(C)的特征值都等于零；(D)的特征值都不等于零；二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）5、若4阶矩阵的行列式，是A的伴随矩阵，则=。6、为阶

6、矩阵，且，则。7、已知方程组无解，则。8、二次型是正定的，则的取值范围是。三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）9、计算行列式10、计算阶行列式四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。写出证明过程）11、若向量组线性相关，向量组线性无关。证明：(1)能有线性表出；(2)不能由线性表出。12、设是阶矩方阵，是阶单位矩阵，可逆，且。证明（1）；（2）。五、解答题（本题共3小题，每小题12分，满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤）13、设，求一个正交矩阵使得为对角矩阵。14、已知方程组与

7、方程组有公共解。求的值。15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知，，是它的三个解向量，且，求该方程组的通解。解答和评分标准一、选择题1、C；2、D；3、A；4、A。二、填空题5、-125;6、；7、-1；8、。三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：第二列减第一列，第四列减第三列得：（4分）按第一行展开得按第三列展开得。（4分）10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子，再通过行列式的变换化为上三角形行列式（4分）（4分）四、证明题11、证明：(1)、因为线性无关，所以线性

8、无关。，又线性相关，故能由线性表出。(4分)，（2）、（反正法）若不，则能由线性表出，不妨设。由（1）知，能由线性表出，不妨设。所以，这表明线性相关，矛盾。12、证明（1）（4分）（2）由（1）得：，代入上式得（4分）五、解答题13、解：（1）由得的特征值为，，。（4分）（2）的特征向量为，的特征向量为，的特征向量为。（3分）（3）因为特征值不相等，则正交。（2分）（4）将单位化得，，（2分）（5）取（6）（1分）14、解：该