长江大学《线性代数》期末试题及答案

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1、(一)线性代数）期末考试试卷一、填空题（每小题2分，共20分）1.如果行列式，则。2.设，则。3.设=。4.设齐次线性方程组的基础解系含有2个解向量，则。5.A、B均为5阶矩阵，，则。6.设,设，则。7.设为阶可逆矩阵，为的伴随矩阵，若是矩阵的一个特征值，则的一个特征值可表示为。8.若为正定二次型，则的范围是。9.设向量，则与的夹角。10.若3阶矩阵的特征值分别为1，2，3，则。二、单项选择（每小题2分，共10分）1.若齐次线性方程组有非零解,则（）.1或2.－1或－2.1或－2.－1或2.2.已知4阶矩阵的第三列的元素依次为，它们的余子式的值

2、分别为，则（）.5.-5.-3.33.设A、B均为n阶矩阵，满足，则必有（）第24页，共6页...或.或4.设是非齐次线性方程组的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是（）A．B．C．D．5.若二次型的秩为2，则（）.1.2.3.4三、计算题(每题9分，共63分)1.计算阶行列式2.设均为3阶矩阵，且满足，若矩阵，求矩阵。3.已知向量组和；已知可以由线性表示,且与具有相同的秩,求a,b的值。4.已知向量组（1）求向量组的秩以及它的一个极大线性无关组；（2）将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。5.已知线性方程组（1）a为何值时方程组有

3、解？（2）当方程组有解时求出它的全部解（用解的结构表示）.第24页，共6页6.设矩阵，矩阵由关系式确定，试求7.将二次型化为标准形，并写出相应的可逆线性变换。四、证明题（7分）已知3阶矩阵，且矩阵的列向量都是下列齐次线性方程组的解，（1）求的值；（2）证明：。（一）参考答案与评分标准一，填空题1．-16；2.0；3.；4.1；5.-4；6.；7.；8.；9.；10.24。二.单项选择：1.C；2.A；3.D；4.B；5.C.三.计算题：1.4分9分2.3分因为显然可逆6分则9分第24页，共6页3.3分即，且5分那么，则6分，即9分4.4分5分其

4、极大线性无关组可以取为7分且：，9分5.当时，线性方程组有解4分即，特解为，6分其导出组的一般解为，基础解系为8分原线性方程组的通解为为任意常数）9分6.由，得2分4分7分9分第24页，共6页7.=2分=4分令6分即作线性变换8分可将二次型化成标准形9分四.证明题：因为，所以齐次线性方程组有非零解，故其方程组的系数行列式，所以3分（2），，因此齐次线性方程组的基础解系所含解的个数为3-2=1，故，因而。7分（二）线性代数试卷一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、设，为n阶方阵，满足等

5、式，则必有（）(A)或;(B)；（C）或;(D)。2、和均为阶矩阵，且，则必有（）(A)；(B)；（C）.(D)。3、设为矩阵，齐次方程组仅有零解的充要条件是（）(A)的列向量线性无关；(B)的列向量线性相关；（C）的行向量线性无关；(D)的行向量线性相关.4、阶矩阵为奇异矩阵的充要条件是（）(A)的秩小于；(B)；(C)的特征值都等于零；(D)的特征值都不等于零；二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）第24页，共6页5、若4阶矩阵的行列式，是A的伴随矩阵，则=。6、为阶矩阵，且，则。7、已知方程组无解，则。8、二次型是正定的，则的取

6、值范围是。三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）9、计算行列式10、计算阶行列式四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。写出证明过程）11、若向量组线性相关，向量组线性无关。证明：(1)能有线性表出；(2)不能由线性表出。12、设是阶矩方阵，是阶单位矩阵，可逆，且。证明（1）；（2）。第24页，共6页五、解答题（本题共3小题，每小题12分，满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤）13、设，求一个正交矩阵使得为对角矩阵。14、已知方程组与方程组有公共解。求的值。15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知，，是它的三

7、个解向量，且，求该方程组的通解。（二）解答和评分标准一、选择题1、C；2、D；3、A；4、A。二、填空题5、-125;6、；7、-1；8、。三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：第24页，共6页第二列减第一列，第四列减第三列得：（4分）按第一行展开得按第三列展开得。（4分）10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子，再通过行列式的变换化为上三角形行列式（4分）（4分）四、证明题11、证明：(1)、因为线性无关，所以线性无关。，第24页，共6页又线性相关，故能由线性表出。(4分)，（2）、（反正法）若不，则能由线性表出，不妨

8、设。由（1）知，能由线性表出，不妨设。所以，这表明线性相关，矛盾。12、证明（1）（4分）（2）由（1）得：，代入上式得（4分）五、解答题13、解：（