离散型随机变量的分布列和数学期望

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1、.二项分布【知识点】1.次独立重复试验：在相同的条件下，重复地做次试验，各次试验的结果相互独立2.次独立重复试验的概率：一般地，事件在次试验中发生次，其有种情形，由试验的独立性知在次试验中发生，而在其余次试验中不发生的概率都是，所以由概率加法公式知，如果在一次试验中事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为3.二项分布:在上公式中，若将事件发生的次数设为，事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率是.其中于是得到的分布列01............各对应项的值,所以称这样的离散型随机

2、变量服从参数为的二项分布,记作4.离散型随机变量的数学期望一般地,设一个离散型随机变量所有可能取的值是这些对应的概率是,则叫做这个离散型随机变量的均值或数学期望.5.二项分布的数学期望:【经典例题】..【例1】在某批次的某种灯泡中，随机地抽取个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下.根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于天的灯泡是优等品，寿命小于天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.寿命（天）频数频率合计（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出的值；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了个，如果这个

3、灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求的最小值；（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了个进行使用，若以上述频率作为概率，用表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求的分布列和数学期望.1、【答案】（Ⅰ）解：，.（Ⅱ）解：由表可知：灯泡样品中优等品有个，正品有个，次品有个，所以优等品、正品和次品的比例为.所以按分层抽样法，购买灯泡数，所以的最小值为．（Ⅲ）解：的所有取值为.由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为，从本批次灯泡中购买个，可看成次独立重复试验，所以，，，.所以随机变量的分布列为：..所以的数学期

4、望．【例2】甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮．（Ⅰ）记甲投中的次数为，求的分布列及数学期望；（Ⅱ）求乙至多投中次的概率；（Ⅲ）求乙恰好比甲多投进次的概率．2.【答案】解：（Ⅰ）的可能取值为：．的分布列如下表：．（Ⅱ）乙至多投中次的概率为．（Ⅲ）设乙比甲多投中次为事件A，乙恰投中次且甲恰投中次为事件，乙恰投中次且甲恰投中次为事件，则为互斥事件．．所以乙恰好比甲多投中次的概率为．【例3】某商场一号电梯从1层出发后可以在层停靠.已知该电梯在层载有位乘客，假设每位乘客在

5、层下电梯是等可能的...(Ⅰ)求这位乘客中至少有一名乘客在第层下电梯的概率；(Ⅱ)用表示名乘客在第层下电梯的人数，求的分布列和数学期望.3【答案】解：(Ⅰ)设位乘客中至少有一名乘客在第层下电梯的事件为,由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是，则.(Ⅱ)的可能取值为由题意可得每个人在第层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响，所以，..【易错题】【例1】经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以

6、小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：罗非鱼的汞含量（ppm）《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过ppm．（Ⅰ）检查人员从这条鱼中，随机抽出条，求条中恰有条汞含量超标的概率；（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼中任选条鱼，记表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求的分布列及数学期望．..1.【答案】解：（Ⅰ）记“条鱼中任选条恰好有条鱼汞含量超标”为事件，则，条鱼中任选条恰好有条鱼汞含量超标的概率为.　（Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率，可能取，，，.

7、　　　　　　　　　　　　　　　　　则，，，．其分布列如下：所以.【例2】某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，.（Ⅰ）求直方图中的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校名新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的新生中任选名学生，这名学生中上学所需时间少于分钟的人数记为，求的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于分钟的概率）2、【答案

8、】解：（Ⅰ）由直方图可得：...所以.（Ⅱ）新生上学所需时间不少于小时的频率为：，因为，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.（Ⅲ）的可能取值为.由直方图可知，每位学生上学所需时间少于分钟的概率为，,,,,.所以的分布列为：.（或）所以的数学期望为.【例3】国家对空气质