空间坐招标系与空间坐招标系在立体几何中应用有答案

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1、一．空间直角坐标系如图1，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以正方体为载体，以O为原点，分别以射线OA，OC，OD′的方向为正方向，以线段OA，OC，OD′的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、zOx平面、yOz平面，通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向．二．空间直角坐标系中的坐标空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，

2、z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标[例1]　在空间直角坐标系中，作出点M(6，－2,4)．[例2]　长方体ABCD－A1B1C1D1中，

3、AB

4、＝a，

5、BC

6、＝b，

7、CC1

8、＝c，将此长方体放到空间直角坐标系中的不同位置(如图3)，分别写出长方体各顶点的坐标．变式1：棱长为2的正方体，将此正方体放到空间直角坐标系中的不同位置，分别写出几何体各顶点的坐标。..2.底面为边长为4的菱形，高为5的棱柱，将此几何体放到空间直角坐标系中

9、的不同位置分别写出几何体各顶点的坐标。3.在棱长均为2a的正四棱锥P－ABCD中，建立恰当的空间直角坐标系，(1)写出正四棱锥P－ABCD各顶点坐标；(2)写出棱PB的中点M的坐标．解：连接AC，BD交于点O，连接PO，∵P－ABCD为正四棱锥，且棱长均为2a.∴四边形ABCD为正方形，且PO⊥平面ABCD.∴OA＝a.PO＝＝＝a.以O点为坐标原点，OA，OB，OP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．（1）正四棱锥P－ABCD中各顶点坐标分别为A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，D(0，－a,0)，P(0,

10、0，a)．(2)∵M为棱PB的中点，∴由中点坐标公式，得M(，，)，即M(0，a，a)．[例3]　在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．[解]　(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3

11、(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．变式：1.写出点P(6，－2，－7)在xOy面，yOz面，xOz面上的投影的坐标以及点P关于各坐标平面对称的点的坐标．解：设点P在xOy平面、yOz平面、xOz平面上的投影分别为点A，B，C，点P关于xOy平面、yOz平面、xOz平面的对称点分别为点A′，B′，C′，由PA⊥平面xOy，PB⊥平面yOz，PC⊥平面xOz及坐标平面的特征知，点A(6，－2,0)，点B(0，－

12、2，－7)，点C(6,0，－7)；根据点P关于各坐标平面对称点的特征知，点A′(6，－2,7)，B′(－6，－2，－7)，C′(6,2，－7)．..2.在棱长都为2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，建立恰当的直角坐标系，并写出正三棱柱ABC－A1B1C1各顶点的坐标．[正解]　取BC，B1C1的中点分别为O，O1，连线OA，OO1，根据正三棱柱的几何性质，OA，OB，OO1两两互相垂直，且

13、OA

14、＝×2＝，以OA，OB，OO1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，如图5所示，则正三棱柱ABC—A1B1C1各顶点的坐标分别为A(，0,0)

15、，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(，0,2)，B1(0,1,2)，C1(0，－1,2)．三．空间向量在立体几何中的应用1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量．(2)如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时把向量n叫做平面α的法向量．2.线面关系的判定直线l1的方向向量为e1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为e2＝(a2，b2，c2)，平面α的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面β的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．

16、(1)如果l1∥l2，那么e1∥e2e2＝λe1a2＝λa1，b2＝λb1，c2＝λc1．(2)如果l1⊥l2，那么e1⊥e2e1·e