2013年高考数学总复习 3-3 导数的实际应用但因为测试

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1、2013年高考数学总复习3-3导数的实际应用但因为测试新人教B版1.在内接于半径为R的半圆的矩形中,周长最大的矩形的边长为(  )A.和R      B.R和RC.R和RD.以上都不对[答案] B[解析] 设矩形垂直于半圆直径的边长为x,则另一边长为2,则l=2x+4 (0<x<R),l′=2-,令l′=0,解得x=R.当0<x<R时,l′>0;当R<x<R时,l′<0.所以当x=R时,l取最大值,即周长最大的矩形的边长为R,R.2.(文)正三棱柱体积为V,则其表面积最小时,底面边长为(  )A.   B.   C.   D.2[答案] C[解析

2、] 设正三棱柱底面边长为a,高为h,则体积V=a2h,∴h=,表面积S=a2+3ah=a2+,由S′=a-=0,得a=,故选C.(理)做一个圆柱形锅炉,容积为V,两个底面的材料每单位面积的价格为a元,侧面的材料每单位面积的价格为b元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为(  )A.   B.   C.   D.[答案] C[解析] 如图,设圆柱的底面半径为R,高为h,则V=πR2h.设造价为y,则y=2πR2a+2πRhb=2πaR2+2πRb·=2πaR2+,∴y′=4πaR-.令y′=0并将V=πR2h代入解得,=.3.(2010·山东文,

3、8)已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(  )A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件[答案] C[解析] ∵y=-x3+81x-234,∴y′=-x2+81(x>0).令y′=0得x=9,令y′<0得x>9,令y′>0得0

4、的符号才能确定.4.(文)圆柱的表面积为S,当圆柱体积最大时,圆柱的底面半径为(  )A.B.C.D.3π·[答案] C[解析] 设圆柱底面半径为r,高为h,∴S=2πr2+2πrh∴h=又V=πr2h=,则V′=,令V′=0得S=6πr2,∴h=2r,r=.(理)内接于半径为R的球并且体积最大的圆锥的高为(  )A.RB.2RC.RD.R[答案] C[解析] 设圆锥的高为h,底面半径为r,则R2=(h-R)2+r2∴r2=2Rh-h2∴V=πr2h=h(2Rh-h2)=πRh2-h3V′=πRh-πh2,令V′=0得h=R.5.要制做一个圆锥形

5、的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为(  )A.cmB.cmC.cmD.cm[答案] D[解析] 设圆锥的高为x,则底面半径为,其体积为V=πx(400-x2) (0<x<20),V′=π(400-3x2),令V′=0,解得x=.当0<x<时,V′>0;当<x<20时,V′<0所以当x=时,V取最大值.6.某公司生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与产量x的关系是R=则总利润最大时,每年生产的产品是(  )A.100B.150C.200D.300[答案] D[解析] 由题意,总成本为

6、C=20000+100x.所以总利润为P=R-C=P′=令P′=0,得x=300,易知当x=300时,总利润最大.7.(文)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,该长方体的最大体积是________.[答案] 3m3[解析] 设长方体的宽为x,则长为2x,高为-3x (0

7、制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么容器的容积最大时,容器的高为________.[答案] 1.2m[解析] 设容器的短边长为xm,则另一边长为(x+0.5)m,高为=3.2-2x.由3.2-2x>0和x>0,得0

8、.2-2=1.2,容积V=1×1.5×1.2=1.8答:高为1.2m时容积最大.8.(2011·北京模拟)若函数f(x)=lnx-ax2

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