曲边梯形面积与定积分(二)教案

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1、1.4.1　曲边梯形面积与定积分【学习要求】1．了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．【学法指导】通过求曲边梯形的面积、变力做功这两个背景和实际意义截然不同的问题，进一步体会定积分的作用及意义.1．定积分：设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上，用分点a＝x0

2、的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作ʃf(x)dx，即ʃf(x)dx＝_____(ξi)Δxi___.2．在定积分ʃf(x)dx中，f(x)叫做被积函数，a叫做积分下限，b叫做积分上限，f(x)dx叫做被积式．3．如果函数f(x)在[a，b]的图象是一条连续的曲线，则f(x)在[a，b]一定是可积的．4．定积分的性质(1)ʃkf(x)dx＝kʃf(x)dx(k为常数)；(2)ʃ[f1(x)±f2(x)]dx＝ʃf1(x)dx±ʃf2(x)dx；(3)ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx(其中a

3、　分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答　两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．问题2　怎样正确认识定积分ʃf(x)dx?答　(1)定积分ʃf(x)dx是一个数值(极限值)．它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外ʃf(x)dx与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同．(2)定积分就是和的极限(ξi)·Δx，而ʃf(x)dx只是这种极限的一种记号，读作“函数f(x)从a到b的定积分”．(3)函数f(x)在区间[a，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函

4、数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．例1　利用定积分的定义，计算ʃx3dx的值．解　令f(x)＝x3.(1)分割：在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[0,1]等分成n个小区间[，](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.(2)近似代替、作和：取ξi＝(i＝1,2，…，n)，则ʃx3dx≈Sn＝f()·Δx4/4＝()3·＝i3＝·n2(n＋1)2＝(1＋)2.(3)取极限ʃx3dx＝Sn＝(1＋)2＝.小结　利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省

5、略了解题步骤．跟踪训练1　用定义计算ʃ(1＋x)dx.解　(1)分割：将区间[1,2]等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度Δx＝.(2)近似代替、求和：在上取点ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，于是f(ξi)＝1＋1＋＝2＋，从而得(ξi)Δx＝(2＋)·＝＝·n＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝2＋·＝2＋.(3)取极限：S＝＝2＋＝.因此ʃ(1＋x)dx＝.探究点二　定积分的几何意义问题1　从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么ʃf(x)dx表示什么？答　当函数f(x)≥0时，定积分ʃf(x)dx在几何上表示由直线x＝a，x＝

6、b(a0，f(ξi)≤0，故f(ξi)≤0.从而定积分ʃf(x)dx≤0，这时它等于如图所示曲边梯形面积的相反值，即ʃf(x)dx＝－S.当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，定积分ʃf(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．(如图

7、②)，即ʃf(x)dx＝－S1＋S2－S3.例2　利用几何意义计算下列定积分：(1)ʃdx；(2)ʃ(3x＋1)dx.解　(1)在平面上y＝表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，其面积为S＝·π·32.由定积分的几何意义知ʃdx＝π.4/4(2)由直线x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：ʃ(3x＋1)dx表示由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，∴