高三数学不等式选讲 知识点和练习

《高三数学不等式选讲 知识点和练习》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、不等式选讲一、绝对值不等式1．绝对值三角不等式定理1：如果a,b是实数，则

2、a+b

3、≤

4、a

5、+

6、b

7、,当且仅当ab≥0时，等号成立。注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当，不共线时，

8、+

9、≤

10、

11、+

12、

13、，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。（2）不等式

14、a

15、-

16、b

17、≤

18、a±b

19、≤

20、a

21、+

22、b

23、中“=”成立的条件分别是：不等式

24、a

25、-

26、b

27、≤

28、a+b

29、≤

30、a

31、+

32、b

33、，在侧“=”成立的条件是ab≥0，左侧“=”成立的条件是ab≤0且

34、a

35、≥

36、b

37、;不等式

38、a

39、-

40、b

41、≤

42、a-b

43、≤

44、a

45、

46、+

47、b

48、，右侧“=”成立的条件是ab≤0，左侧“=”成立的条件是ab≥0且

49、a

50、≥

51、b

52、。定理2：如果a,b,c是实数，那么

53、a-c

54、≤

55、a-b

56、+

57、b-c

58、,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。2．绝对值不等式的解法（1）含绝对值的不等式

59、x

60、＜a与

61、x

62、＞a的解集不等式a＞0a=0a＜0

63、x

64、＜a{x

65、-a＜x＜a}

66、x

67、＞a{x

68、x＞a或x＜-a}{x

69、x∈R且x≠0}R注：

70、x

71、以及

72、x-a

73、±

74、x-b

75、表示的几何意义（

76、x

77、表示数轴上的点x到原点的距离；

78、x-a

79、±

80、x-b

81、）表

82、示数轴上的点x到点a,b的距离之和（差）（2）

83、ax+b

84、≤c(c＞0)和

85、ax+b

86、≥c(c＞0)型不等式的解法①

87、ax+b

88、≤c-c≤ax+b≤c;②

89、ax+b

90、≥cax+b≥c或ax+b≤-c.（3）

91、x-a

92、+

93、x-b

94、≥c(c＞0)和

95、x-a

96、+

97、x-b

98、≤c(c＞0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。8二、证明不等式的基本方法1．

99、比较法（1）作差比较法①理论依据：a＞ba-b＞0;a＜ba-b＜0.②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论。注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系。（2）作商比较法①理论依据：②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论。2．综合法（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫做推证法或由因导果法。（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组

100、）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式。3．分析法（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法。（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止。注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚。当问题比较复杂时，通

101、常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程。4．放缩法（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法。8（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键。5.除此之外还有反证法和数学归纳法【绝对值不等式习题】【例1】不等式的解集为（A）[-5.7]（B）[-4,6]（C）（D）【答案】D【解析】由不等式的几何意义知，式子表示数轴的点与点（5）的距离和与点（-3）的距离之和，其

102、距离之和的最小值为8，结合数轴，选项D正确【例2】已知集合，则集合=________.【答案】【解析】∵，，∴.【例3】对于实数x，y，若，，则的最大值为.【答案】5【例4】不等式的解集是______.8【解析】。由题得所以不等式的解集为。【例5】若关于x的不等式存在实数解，则实数的取值范围是【答案】【解析】：因为所以存在实数解，有或【例6】已知函数f（x）=

103、x-2

104、-

105、x-5

106、.（I）证明：-3≤f（x）≤3；（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集.解：（I）当所以（II）由（I）可知，

107、当的解集为空集；当；当.综上，不等式【例7】已知函数（1）解关于的不等式；（2）若函数的图象恒在函数图象的上方，求的取值范围。解：（1）不等式，即。当时，不等式的解集是；当时，不等式的解集为；8当时，即，即或者，即或者，解集为。（5分）（2）函数的图象恒在函数图象的上方，即对任意实数恒成立。即对任意实数恒成立。由于，故只要。所以的取值范围是。【不等式证明习题】【例1】若a，b，c为不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.证明：由a