高三数学选修系列不等式选讲

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1、选修系列第二部分不等式选讲【高考目标导航】一、绝对值不等式1.考纲点击(1)理解绝对值的儿何意义，并了解下列不等式成立的儿何意义及取等号的条件：①

2、a+b

3、W

4、a

5、+1b

6、(a,b丘R);②

7、a~b

8、W

9、a~c

10、+1b-c

11、(a,b,cWR)•(2)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：Iax+b

12、Wc;

13、ax+b

14、Pc;

15、x~a

16、+1x~b

17、Nc.2.热点提示(1)以选择题的形式考查绝对值不等式，同时与不等式的性质相结合；(2)以考查绝对值不等式的解法为主，兼顾考查集合的交、并、补运算。二、证明不等

18、式的基本方法1.考纲点击通过一些简单问题了解证明不等式的基木方法：比较法、综合法、分析法、放缩法。2.热点提示(1)以一次函数、二次函数、指数函数、対数函数等知识为背景考查不等式的常用证明方法;(2)与数列等知识综合考查不等式的证明方法。【考纲知识梳理】一、绝对值不等式1.绝对值三角不等式定理1：如果a,b是实数，贝ij

19、a+b

20、^

21、a

22、+

23、b

24、,当且仅当abMO时，等号成立。注：(1)绝对值三角不等式的向量形式及儿何意义：当方，忌不共线时，币+和£血

25、+

26、和，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。(

27、2)不等式

28、a卜

29、b

30、W

31、a土b

32、W

33、a

34、+

35、b

36、中“二”成立的条件分别是：不等式—W

37、a+b

38、W

39、a

40、+

41、b

42、,在侧成立的条件是abNO,左侧“二”成立的条件是abWO且

43、a

44、^

45、b

46、;不等式

47、a

48、-

49、b

50、

51、a-b

52、

53、a

54、+

55、b

56、,右侧“二”成立的条件是abWO,左侧“二”成立的条件是abNO且

57、a

58、^

59、b

60、o定理2：如果a,b,c是实数，那么

61、a-c

62、W

63、a~b

64、+

65、b~c

66、,当且仅当(a-b)(b-c)时，等号成立。1.绝对值不等式的解法（1）含绝对值的不等式

67、x

68、<3与

69、x

70、>a的解集不等式a>0a

71、=0a<0

72、x

73、

74、一aVxVa}0O

75、x

76、>a{x

77、x>a或xV_a}{x

78、xWR且xHO}R注:

79、x

80、以及

81、x-a

82、±

83、x-b

84、表示的几何意义（

85、x

86、表示数轴上的点x到原点0的距离；

87、x-a

88、±

89、x-b

90、）表示数轴上的点x到点％b的距离之和（差）（2）ax+b

91、Wc（c>0）和

92、ax+b$c（c>0）型不等式的解法①

93、ax+b

94、Wc<=>一cWax+bWc;②

95、ax+b

96、MeOdx+b$c或ax+bW-c.（3）

97、x-a

98、+1x-b

99、Me（c>0）和

100、x~a

101、+1x-b

102、We（c>0）型不等式的解

103、法方法一：利用绝对值不等式的儿何意义求解，体现了数形结合的思想；方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。二、证明不等式的基本方法1.比较法（1）作差比较法①理论依据：a>bO8-1?>0;aVbOa~b<0.②证明步骤：作差一变形一判断符号一得出结论。注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系。（2）作商比较法①理论依据：bb②证明步骤：作漓一变形一判断与1的大小关系一得出结论。2.综

104、合法（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫做推证法或由因导果法。（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式。1.分析法（1）定义：从要证的结论岀发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或己证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法。（2）思路：分析法

105、的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止。注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚。当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程。2.放缩法（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法。（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键。【要点名师透析】一、绝

106、对值不等式（一）绝对值三角不等式性质定理的应用K例3uIx~a

107、

108、y-a

109、

110、x-y

111、V2m”（x,y,a,mER）的（A）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）非充分非必要条件（Ix—Cl

112、

113、x-y

114、<加的关系即得答案。y-a

115、x-y=（x-a）-（y-a）

116、x-a

117、y一a

118、v加