不等式选讲知识点.doc

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1、不等式选讲[知识点复习]一、不等式的基本性质①（对称性）②（传递性）③（可加性）（同向可加性）（异向可减性）④（可积性）⑤（同向正数可乘性）（异向正数可除性）⑥（平方法则）⑦（开方法则）⑧（倒数法则）二、几个重要不等式①,（当且仅当时取号）.变形公式：②（基本不等式）,（当且仅当时取到等号）.变形公式：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）.④（当且仅当时取到等号）.⑤（当且仅当时取到等号）.⑥（当仅当a=b时取等号）（

2、当仅当a=b时取等号）⑦其中规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧⑨绝对值三角不等式三、几个著名不等式①平均不等式：,（当且仅当时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.7变形公式：②幂平均不等式：③二维形式的三角不等式：④二维形式的柯西不等式：当且仅当时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：⑥一般形式的柯西不等式：⑦向量形式的柯西不等式：设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设为两组实数.是的任一排列，则（反序和乱序和顺序和）当且仅当或时，反序和等于顺序和.四．绝对

3、值三角不等式定理1：如果a,b是实数，则

4、a+b

5、≤

6、a

7、+

8、b

9、,当且仅当ab≥0时，等号成立。注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当，不共线时，

10、+

11、≤

12、

13、+

14、

15、，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。（2）不等式

16、a

17、-

18、b

19、≤

20、a±b

21、≤

22、a

23、+

24、b

25、中“=”成立的条件分别是：不等式

26、a

27、-

28、b

29、≤

30、a+b

31、≤

32、a

33、+

34、b

35、，在侧“=”成立的条件是ab≥0，左侧“=”成立的条件是ab≤0且

36、a

37、≥

38、b

39、;不等式

40、a

41、-

42、b

43、≤

44、a-b

45、≤

46、a

47、+

48、b

49、，右侧“=”成立的条件是ab≤0，左侧“=”成立的条

50、件是ab≥0且

51、a

52、≥

53、b

54、。定理2：如果a,b,c是实数，那么

55、a-c

56、≤

57、a-b

58、+

59、b-c

60、,当且仅当(a-b)(b-c)时，等号成立。五．绝对值不等式的解法（1）含绝对值的不等式

61、x

62、＜a与

63、x

64、＞a的解集不等式a＞0a=0a＜07

65、x

66、＜a{x

67、-a＜x＜a}

68、x

69、＞a{x

70、x＞a或x＜-a}{x

71、x∈R且x≠0}R注：

72、x

73、以及

74、x-a

75、±

76、x-b

77、表示的几何意义（

78、x

79、表示数轴上的点x到原点的距离；

80、x-a

81、±

82、x-b

83、）表示数轴上的点x到点a,b的距离之和（差）（2）

84、ax+b

85、≤c(c＞0)和

86、ax+b

87、≥c(

88、c＞0)型不等式的解法①

89、ax+b

90、≤c-c≤ax+b≤c;②

91、ax+b

92、≥cax+b≥c或ax+b≤-c.（3）

93、x-a

94、+

95、x-b

96、≥c(c＞0)和

97、x-a

98、+

99、x-b

100、≤c(c＞0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。六、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；1．比较法（1）作差比较法①理论依据：a＞ba-b＞0;a＜ba-b＜

101、0.②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论。注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系。（2）作商比较法①理论依据：②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论。2．综合法（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫做推证法或由因导果法。（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式。3．分析法（

102、1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法。7（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止。注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚。当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程。4．放缩法（1）定义：证明不等式

103、时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法。（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键。其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：①舍去或