第五章第4讲数列求和

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1、第4讲　数列求和1．等差数列的前n项和公式Sn＝＝na1＋d．2．等比数列的前n项和公式Sn＝3．一些常见数列的前n项和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝；(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2；(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n．[做一做]1．数列{an}的通项公式是an＝，其前n项和为9，则n等于(　　)A．9　　　　　　　　　B．99C．10D．100答案：B2．等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项的和为Sn，则数列的前10项的和为(　　)A．120B．100C．75D．70解析：选C.∵Sn＝＝n(n＋2)，∴＝n＋2.故＋＋…＋＝75.1．辨明两个易误

2、点(1)使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．(2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．2．数列求和的常用方法(1)倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．(2)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．(3)

3、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(4)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减．(5)并项求和法：一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．[做一做]3．若Sn＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n－1·n，则S50＝________．答案：－254．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为________．解析：Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2.答案：2n

4、＋1＋n2－2__分组法求和__________________________　(2014·高考湖南卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．[解]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.故数列{an}的通项公式为an＝n.(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则

5、A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n，故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.[规律方法]　1.分组转化法求和的常见类型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和；(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．2．本题中求前2n项和转化为求数列{22n}与{(－1)nn}的和，在求{(－1)nn}的和时，又利用了并项求和法．　　　1.已知等比数列{an}中，首项a1＝3，公比q>1，且3(an＋2＋an)

6、－10an＋1＝0(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的通项公式和前n项和Sn.解：(1)∵3(an＋2＋an)－10an＋1＝0，∴3(anq2＋an)－10anq＝0，即3q2－10q＋3＝0.∵公比q>1，∴q＝3.又首项a1＝3，∴数列{an}的通项公式为an＝3n.(2)∵是首项为1，公差为2的等差数列，∴bn＋an＝1＋2(n－1)．即数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1－3n－1，前n项和Sn＝－(1＋3＋32＋…＋3n－1)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝－(3n－1)＋n2.__错位相减法求和_____

7、_________________　(2015·浙江宁波高三模拟)设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝1，b1＝2，a2＋b3＝10，a3＋b2＝7.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n项和为Sn，记cn＝·an，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Tn.[解]　(1)由题意得把a1＝1，b1＝2代入得消去d得2q2－q－6＝0，(2q＋3)(q－2)＝0，∵{bn}是各项都为正数的等比