《三 排序不等式》同步练习2

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1、《排序不等式》同步练习1．已知a，b，c∈R＋，则a3＋b3＋c3与a2b＋b2c＋c2a的大小关系是(　　)A．a3＋b3＋c3>a2b＋b2c＋c2aB．a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2aC．a3＋b3＋c3

2、A3．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，则最少和最多花的钱数为(　　)A．19元，24元B．20元，19元C．19元，25元D．25元，27元答案：C4．已知a，b，c为正数，求证：≥abc.分析：所要证的不等式中a，b，c的“地位”是对称的，因此可以先设出a，b，c的大小．证明：设a≥b≥c，则≤≤，bc≤ca≤ab，由排序原理得＋＋≥＋＋，即≥a＋b＋c.因为a，b，c为正数，所以abc＞0，a＋b＋c＞0.于是≥abc.5．已知a，b，c≥0，且a

3、2＋b2＋c2＝3，则a＋b＋c的最大值是______．答案：36．设a，b，c∈R＋，求证：a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab.证明：不妨设a≥b≥c>0，则a4≥b4≥c4，运用排序不等式有：a5＋b5＋c5＝a×a4＋b×b4＋c×c4≥ac4＋ba4＋cb4，又a3≥b3≥c3>0，且ab≥ac≥bc>0，所以a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab.7．已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：(1)≥≥；(

4、2)＋＋≥＋＋.证明：(1)∵a≥b＞0，∴≤，又∵c＞0，∴＞0，∴≥，同理∵b≥c＞0，∴≤，∵a＞0，∴＞0，∴≥，∴≥≥；(2)由(1)≥≥，于是由排序原理得＋＋≥＋＋＝＋＋≥＋＋＝＋＋.8．已知a，b，c为正数，且两两不相等，求证：2(a3＋b3＋c3)＞a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)．证明：不妨设a＞b＞c，于是a2＞b2＞c2，且b＋c＜a＋c＜a＋b，∴＜·，∴a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)＜，①又∵a＞b＞c，a2＞b2＞c2，∴＞·，∴2(a3＋b3＋c3)＞，②由①

5、②得2(a3＋b3＋c3)＞a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)．9．设a，b，c为正数，求证：＋＋≥.证明：不妨设a≥b≥c(因为所证不等式关于a，b，c对称)于是a＋b≥c＋a≥c＋b，所以得a≥b≥c，≥≥.由排序原理：顺序和≥乱序和，得＋＋≥＋＋，＋＋≥＋＋，将上面两个同向不等式相加，再除以2，即得＋＋≥.10．设a，b，c为正数，求证：2≥＋＋.证明：由对称性，可知不妨设a≥b≥c>0，于是a＋b≥a＋c≥b＋c，a2≥b2≥c2，≥≥，由排序原理，可知＋＋≥＋＋，＋＋≥＋＋，将上面两个同向不等式相

6、加，可得2≥＋＋.11．已知n∈N，求证：(1＋1)1＋…1＋>.证明：令A＝(1＋1)…＝×××…×，B＝×××…×，C＝×××…×.由于>>，>>，>>，…，>>>0，∴A>B>C>0，∴A3>ABC＝3n＋1，∴A>，∴原不等式成立．12．设x＞0，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.证明：(1)x≥1时，1≤x≤x2≤…≤xn，由排序原理得1×1＋x·x＋x2·x2＋…＋xn·xn≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn，①又因为x，x2，

7、…，xn，1为序列1，x，x2，…，xn的一个排列，∴1·x＋x·x2＋…＋xn－1xn＋xn·1≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，∴x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn，②①＋②得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.③(2)当0＜x＜1时，1＞x≥x2≥…≥xn，①②仍成立，∴③也成立．