2.2 排序不等式 同步练习 1

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1、2.2排序不等式同步练习1解答题1．若a1≤a2≤…≤an，而b1≥b2≥…≥bn或a1≥a2≥…≥an而b1≤b2≤…≤bn，证明：≤·.当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时等号成立．证明　不妨设a1≤a2≤…≤an，b1≥b2≥…≥bn.则由排序原理得：a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbna1b1＋a2b2＋…＋anbn≤a1b2＋a2b3＋…＋anb1a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤a1b3＋a2b4＋…＋an－1b1＋anb2……a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤a1bn＋a2b1＋…＋anbn－1.将上述n个式子相加，得

2、：n(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)≤(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)上式两边除以n2，得：≤.等号当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时成立．2．设a1，a2，…，an为实数，证明：≤.证明　不妨设a1≤a2≤a3≤…≤an由排序原理得a＋a＋a＋…＋a＝a1a1＋a2a2＋a3a3＋…＋anan.a＋a＋a＋…＋a≥a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋ana1a＋a＋a＋…＋a≥a1a3＋a2a4＋a3a5＋…＋ana2a＋a＋a＋…＋a≥a1an＋a2a1＋a3a2＋…＋anan－1以上n个式子两边相加n(a＋a＋a＋…＋a)＝(a1＋a2

3、＋a3＋…＋an)2两边同除以n2得≥2所以≥结论得证．3．设a1，a2，…，an为正数，求证：＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an.证明　不妨设a1>a2>…>an>0，则有a>a>…>a也有<<…<，由排序原理：乱序和≥反序和，得：＋＋…＋≥＋＋…＋＝a1＋a2＋…＋an.4．设A、B、C表示△ABC的三个内角的弧度数，a，b，c表示其对边，求证：≥.证明　法一　不妨设A>B>C，则有a>b>c由排序原理：顺序和≥乱序和∴aA＋bB＋cC≥aB＋bC＋cAaA＋bB＋cC≥aC＋bA＋cBaA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC上述三式相加得3(aA＋bB＋cC)≥(A＋B＋C)(a

4、＋b＋c)＝π(a＋b＋c)∴≥.法二　不妨设A>B>C，则有a>b>c，由排序不等式≥·，即aA＋bB＋cC≥(a＋b＋c)，∴≥.5．设a，b，c为正数，利用排序不等式证明a3＋b3＋c3≥3abc.证明　不妨设a≥b≥c>0，∴a2≥b2≥c2，由排序原理：顺序和≥反序和，得：a3＋b3≥a2b＋b2a，b3＋c3≥b2c＋c2bc3＋a3≥a2c＋c2a三式相加得2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)．又a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.所以2(a3＋b3＋c3)≥6abc，∴a3＋b3＋c3≥3abc.当

5、且仅当a＝b＝c时，等号成立．6．设a，b，c是正实数，求证：aabbcc≥(abc).证明　不妨设a≥b≥c>0，则lga≥lgb≥lgc.据排序不等式有：alga＋blgb＋clgc≥blga＋clgb＋algcalga＋blgb＋clgc≥clga＋algb＋blgcalga＋blgb＋clgc＝alga＋blgb＋clgc上述三式相加得：3(alga＋blgb＋clgc)≥(a＋b＋c)(lga＋lgb＋lgc)即lg(aabbcc)≥lg(abc)故aabbcc≥(abc).7．设xi，yi(i＝1，2，…，n)是实数，且x1≥x2≥…≥xn，y1≥y2≥…≥yn，而

6、z1，z2，…，zn是y1，y2，…，yn的一个排列．求证：(xi－yi)2≥(xi－zi)2.证明　要证(xi－yi)2≥(xi－zi)2只需证y－2xiyi≥z－2xizi.因为y＝z，∴只需证xizi≤xiyi.而上式左边为乱序和，右边为顺序和．由排序不等式得此不等式成立．故不等式(xi－yi)2≥(xi－zi)2成立．8．已知a，b，c为正数，且两两不等，求证：2(a3＋b3＋c3)>a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)．证明　不妨设a>b>c>0.则a2>b2>c2，a＋b>a＋c>b＋c，∴a2(a＋b)＋b2(a＋c)＋c2(b＋c)>a2(b＋c)＋b

7、2(a＋c)＋c2(a＋b)，即a3＋c3＋a2b＋b2a＋b2c＋c2b>a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)，又∵a2>b2>c2，a>b>c，∴a2b＋b2aa2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)．