《三 排序不等式》课件5

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1、1．顺序和、乱序和、反序和设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，称为这两个实数组的顺序积之和(简称)，称为这两个实数组的反序积之和(简称)．称为这两个实数组的乱序积之和(简称)．a1b1＋a2b2＋顺序和a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1反序和a1c1＋a2c2＋…＋ancn乱序和…＋anbn2．排序不等式(排序原理)定理：(排序原理，又称为排序不等式)设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为

2、b1，b2，…，bn的任一排列，则有≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn.排序原理可简记作：．a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1a1b1＋a2b2＋…＋anbn反序和≤乱序和≤顺序和利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．2．设x≥1，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.证明：∵x≥1，∴1≤x≤x2≤……≤xn.由排序原理得12

3、＋x2＋x4＋…＋x2n≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1即1＋x2＋x4＋…＋x2nn≥(n＋1)xn.①又因为x，x2，…，xn,1为1，x，x2，…，xn的一个排列由排序原理得：1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1得x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn②将①②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的

4、对称性，限定一种大小关系．