微积分基本定理（理）.教师版

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1、同步课程˙微积分基本定理微积分基本定理知识回顾一、初等函数的导数公式表，为正整数，为有理数注：，称为的自然对数，其底为，是一个和一样重要的无理数．注意．二、导数的四则运算法则：⑴函数和（或差）的求导法则：设，是可导的，则，即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）．⑵函数积的求导法则：设，是可导的，则，即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．由上述法则即可以得出，即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数．⑶函数的商的求导法则：15/15同步课程˙微积分基本定理设，是

2、可导的，，则．特别是当时，有．知识讲解一、函数定积分设函数定义在区间上．用分点，把区间分为个小区间，其长度依次为．记为这些小区间长度的最大值，当趋近于时，所有的小区间长度都趋近于．在每个小区间内任取一点，作和式．当时，如果和式的极限存在，我们把和式的极限叫做函数在区间上的定积分，记作，即．其中叫做被积函数，叫积分下限，叫积分上限．叫做被积式．此时称函数在区间上可积．二、曲边梯形：曲线与平行于轴的直线和轴所围成的图形，通常称为曲边梯形根据定积分的定义，曲边梯形的面积等于其曲边所对应的函数在区间上的定积分，即．求曲边梯形面积的四个步骤：第一步：分割．在区

3、间中插入各分点，将它们等分成个小区间，区间的长度，第二步：近似代替，“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．第三步：求和．第四步：取极限．三、求积分与求导数互为逆运算15/15同步课程˙微积分基本定理，即从到的积分等于在两端点的取值之差．四、微积分基本定理如果，且在上可积，则，其中叫做的一个原函数．由于，也是的原函数，其中为常数．一般地，原函数在上的改变量简记作，因此，微积分基本定理可以写成形式：．【例1】根据定义计算积分．【解析】所求定积分为两个全等的等腰直角三角形的面积，故．【答案】【例2】根据定义计算

4、积分．【解析】所求定积分为圆在轴上半部的半圆的面积，故．【答案】【例3】求定积分．【解析】，设，则，∵表示以为半径的圆的四分之一面积，∴．又易知，因此．【答案】【例4】由及轴围成的介于0与之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为________．15/15同步课程˙微积分基本定理【解析】可以表示为．【答案】【例1】图中阴影部分的面积总和可用定积分表示为（）A．B．C．D．【解析】由图可知，选D．【答案】D【例2】求曲线以及直线，，所围成的图形的面积．【解析】因为所以由公式可知，．【答案】【例3】已知函数，⑴试用定积分表示与轴围成的介于与之间的平面图形

5、的面积；15/15同步课程˙微积分基本定理⑵结合的图象猜出的值；⑶试将上述问题推广到一般的情况．【解析】⑴由定积分性质可知，与轴围成的介于与之间的平面图形的面积；⑵；⑶已知在上连续，①当为偶函数时，有；②当为奇函数时，有．【例1】已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为和（如图所示）．那么对于图中给定的和，下列判断中一定正确的是（）A．在时刻，甲车在乙车前面B．时刻后，甲车在乙车后面C．在时刻，两车的位置相同D．时刻后，乙车在甲车前面【解析】甲、乙所行驶的路程、，由图像可知，曲线比在、与轴所围成图形

6、面积大，则在、时刻，，即甲车均在乙车前面，选A．【答案】A【例2】（）A．B．C．D．【解析】为奇函数，积分区间关于原点对称，故．【答案】C【例3】函数的图象与直线及轴所围成图形的面积称为函数在15/15同步课程˙微积分基本定理上的面积，已知函数在上的面积为，则函数在上的面积为_____________．【解析】在上的面积为，又此函数的一个周期为，故在上的面积也为．【答案】【例1】______．【答案】【例2】___________．【答案】【例3】（）A．B．C．D．【解析】．【答案】D【例4】曲线与坐标轴围成的面积是（）A．B．C．D．【解析】．

7、【答案】C【例5】．15/15同步课程˙微积分基本定理【解析】．【答案】【例1】由曲线、直线、和轴围成的封闭图形的面积为．【解析】由定积分的定义知，此封闭图形的面积为．【答案】【例2】设函数．若，，则的值为________．【解析】，于是有，又，故．【答案】【例3】已知，则二项式展开式中含项的系数是．【答案】【例4】，则实数．【解析】，故．【答案】【例5】_______．【解析】【答案】【例6】已知，且，，，求、、的值．【解析】由，得，……①又，由，得……②15/15同步课程˙微积分基本定理……③由①②③得：．【答案】【例1】已知函数，则（）A．B．

8、C．D．【解析】，于是，．【答案】B【例2】试用定积分表示由直线，，及轴围成的平面图形的面积，并求积分的值．