定积分与微积分基本定理教师版

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1、定积分与微积分基本定理教师版一、知识网络　　　　　　　　　　　　　　　　二目标认知1考试大纲要求：　　了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念及其基本定理。2重点：　　正确计算定积分，利用定积分求面积。3难点：　　正确计算定积分，利用定积分求面积。三、知识要点梳理知识点一：定积分的概念　　定积分的定义：如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式，当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分.记作，即＝，这里，与分别叫做积分下限与积分上限，

2、区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.　　说明：　　（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；　　（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限.知识点二：定积分的性质　　（1）（为常数），　　（2）8，　　（3）（其中），　　（4）利用函数的奇偶性求积分：　　若函数在区间上是奇函数，则；　　若函数在区间上是偶函数，则.知识点三：微积分基本定理　　如果，且在上连续，则,其中叫做的一个原函数.由于也是的原函数，其中c为常数.　　一般地，原函数在上的改变量简记作.

3、因此，微积分基本定理可以写成形式：.　　说明：求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.知识点四：定积分的几何意义　　设函数在区间上连续.　　在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积；如图（1）所示.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；　　在上，当既取正值又取负值时，定积分的几何意义是曲线，两条直线与

4、轴所围成的各部分面积的代数和.在轴上方的面积积分时取正号，在轴下方的面积积分时，取负号8.如图（2）所示.　　　　　　　　　　　　　　　　知识点五：应用（一）应用定积分求曲边梯形的面积　　1.如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线　　()围成的曲边梯形的面积：；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2.如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线　　()围成的曲边梯形的面积：；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3.如图，由曲线及直线，围成图形的面积公式为：.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4.利用定

5、积分求平面图形面积的步骤：　　（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；　　（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；　　（3）写出定积分表达式；　　（4）求出平面图形的面积.（二）利用定积分解决物理问题8　　①变速直线运动的路程　　　作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积　　　分，即.　　②变力作功　　　物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到　　　，那么变力所作的功.四、规律方法指导　　1.要正确理解定积分的概念，掌握其几何意

6、义，从而解决实际问题；　　2.要正确计算定积分，需非常熟悉导数的运算。五、巩固练习题组一定积分的计算1.已知f(x)为偶函数且f(x)dx＝8，则f(x)dx等于(　　)A．0B．4C．8D．16解析：原式＝f(x)dx＋f(x)dx，∵原函数为偶函数，∴在y轴两侧的图象对称，∴对应的面积相等，即8×2＝16.答案：D2．设f(x)＝则f(x)dx等于(　　)A.B.C.D．不存在解析：数形结合，f(x)dx=x2dx+(2-x)dx==.答案：C3．计算以下定积分：(1)(2x2－)dx；(2)(＋)2dx；8(

7、3)(sinx－sin2x)dx；解：(1)(2x2－)dx＝(x3－lnx)＝－ln2－＝－ln2.(2)(＋)2dx＝(x＋＋2)dx＝(x2＋lnx＋2x)＝(＋ln3＋6)－(2＋ln2＋4)＝ln＋.(3)(sinx－sin2x)dx＝(－cosx＋cos2x)＝(－－)－(－1＋)＝－.题组二求曲多边形的面积4．如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是(　　)A．1B.C.D．2解析：函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1的两个交点为(0,1)和(2,

8、1)，所以闭合图形的面积等于(－x2＋2x＋1－1)dx＝(－x2＋2x)dx＝.答案：B5．已知函数y＝x2与y＝kx(k＞0)的图象所围成的阴影部分(如图所示)的面积为，则k＝________.解析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0，k]，再由(kx－x2)dx＝(－)＝＝求得k＝2.答案：286．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,