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1、3-3定积分与微积分基本定理(理)一、选择题1．(2010·山东理)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为( )A.B.C.D.[答案] A[解析] 由得交点为(0,0)，(1,1)．∴S＝(x2－x3)dx＝＝.2．已知f(x)为偶函数且f(x)dx＝8，则6f(x)dx等于( )A．0 B．4 C．8 D．16[答案] D[解析] ∵原函数为偶函数，∴在y轴两侧的图像对称．∴对应的面积相等．原式＝2f(x)dx＝8×2＝16.3．(2012·沈阳)由三条直线x＝0，x＝2，
2、y＝0和曲线y＝x3所围成的图形的面积为( )9A．4B.C.D．6[答案] A[解析] S＝x3dx＝＝4.4．(2011·湖南理，6)由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为( )A.B．1C.D.[答案] D[解析] 本小题考查定积分的计算与几何意义．S＝cosxdx＝sinx＝sin－sin＝.5．若dx＝3＋ln2，则a的值为( )A．6B．4C．3D．2[答案] D[解析] ∵dx＝(x2＋lnx)
3、＝a2＋lna－(12＋ln1)＝a2＋lna－1＝3＋ln2∴a
4、＝2.96．函数F(x)＝t(t－4)dt在[－1,5]上( )A．有最大值0，无最小值B．有最大值0和最小值－C．有最小值－，无最大值D．既无最大值也无最小值[答案] B[解析] F′(x)＝x(x－4)令F′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4，∵F(－1)＝－，F(0)＝0，F(4)＝－，F(5)＝－.∴最大值为0，最小值为－.二、填空题7.
5、x＋2
6、dx＝________.[答案] [解析] 原式＝(－x－2)dx＋(x＋2)dx＝.8．一物体以初速度v＝9.8t＋6.5m/s的速度自由落下，则下落后第二
7、个4s内经过的路程是________．[答案] 261.2m9[解析] (9.8t＋6.5)dt＝(4.9t2＋6.5t)
8、＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4＝313.6＋52－78.4－26＝261.2.三、解答题9．求下列定积分：(1)(x2－x)dx；(2)cos2dx；(3)
9、3－2x
10、dx；(4)(3x3＋4sinx)dx.[解析] 9一、选择题1．已知力F和物体移动方向相同，而且与物体位置x有如下关系：F(x)＝那么力F使物体从x＝－1点运动到x＝1点做功大小为( )A．0B.C
11、.D．1[答案] B[解析] F(x)dx＝
12、x
13、dx＋(x2＋1)dx＝(－x)dx＋(x2＋1)dx＝(－1)2＋×13＋1＝.92．(2012·梅州模拟)定积分dx的值为( )A．9πB．3πC.πD.π[答案] C[解析] 由定积分的几何意义知dx是由曲线y＝，直线x＝0，x＝3，y＝0围成的封闭图形的面积，故dx＝＝π.故选C.二、填空题3．如果f(x)dx＝1，f(x)dx＝－1，则f(x)dx＝________.[答案] －2[解析] ∵f(x)dx＋f(x)dx＝f(x)dx，∴f(x)dx＝
14、f(x)dx－f(x)dx＝－1－1＝－2.4．(2011·陕西理，11)设f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝________.[答案] 1[解析] 本小题考查分段函数求函数值、定积分的计算．f(f(1))＝f(lg1)＝f(0)＝0＋3t2dt＝t3
15、＝a3＝1.∴a＝1.三、解答题5．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．9[解析] (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，则f′(
16、x)＝2ax＋b.由f(－1)＝2，f′(0)＝0，得，即，∴f(x)＝ax2＋(2－a)．又f(x)dx＝[ax2＋(2－a)]dx＝[ax3＋(2－a)x]
17、＝2－a＝－2，∴a＝6，从而f(x)＝6x2－4.(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]．∴当x＝0时，f(x)min＝－4；当x＝±1时，f(x)max＝2.6．如下图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．[解析] 抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，所以，抛物线与x轴所围
18、图形的面积S＝(x－x2)dx＝＝.9由可得，抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，所以，＝(x－x2－kx)dx＝＝(1－k)3.又知S＝，所以(1－k)3＝，于是k＝1－.7．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求y＝f(x)的图像与两坐标轴所围成图形的面积．(3)若直
