【教学设计】《两个变量的线性相关》（人教）

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1、《两个变量的线性相关》◆教学目标【知识与技能】（1）了解线性回归的意义，了解最小二乘法思想； （2）会求回归直线方程。【过程与方法】经历描述两个变量的相关关系的过程，了解最小二乘法的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。【情感态度与价值观】通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于◆教学重难点◆生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系。【教学重点】会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系。【教学难点】会求回归直线的方程。◆教学过程（一）新课导入（1）如果所有的样本

2、点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系。（2）如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系。（3）如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系。散点图：用来判断两个变量是否具有相关关系（二）新课讲授1、回归直线（1）回归直线的定义：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线（2）回归直线的特征：如果能够求出这条回归直线的方程（简称回归方程），那么我们就可以比较清楚地了解对应两个变量之间的相关性。就

3、像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样，这条直线也可以作为两个变量之间具有相关关系的代表。2、回归直线方程定义：一般地，设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n组观测值的n个点（xi,yi）（i＝1，2，…，n）大致分布在一条直线附近，求在整体上与这n个最接近的一条直线。设此直线方程为这里在y的上方加记号“^”，是为了区分实际值y，表示当x取值xi（i＝1，2，…n）时，y相应的观察值为yi，而直线上对应于xi的纵坐标是,叫做y对x的回归直线方程，a、b叫做回归系数。注意：求回归直线方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看

4、各点与此直线的距离最小”，即最贴近已知的数据点，最能代表变量x与y之间的关系。问题　在直角坐标系中，任何一条直线都有相应的方程，回归直线的方程称为回归方程．对一组具有线性相关关系的样本数据，如果能够求出它的回归方程，那么我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内在联系，并根据回归方程对总体进行估计，那么如何求出回归直线的方程呢？思考1：回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？答：整体上最接近。选择能反映直线变化的两个点。思考2：对一组具有线性相关关系的样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，设其回归方程

5、为＝bx＋a，可以用哪些数量关系来刻画各样本点与回归直线的接近程度？答：可以用

6、yi－i

7、或(yi－i)2，其中i＝bxi＋a。(如图)思考3：为了从整体上反映n个样本数据与回归直线的接近程度，你认为选用哪个数量关系来刻画比较合适？答：Q＝(yi－i)2＝(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2。小结：根据有关数学原理分析，当＝＝，＝－时，总体偏差Q＝(yi－i)2为最小，这样就得到了回归方程，这种求回归方程，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法。思考4：回归方程中，，的几何意义

8、分别是什么？答：是回归方程的斜率，是截距。思考5：利用计算器或计算机可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程＝0.577x－0.448，由此我们可以根据一个人的年龄预测其体内脂肪含量的百分比的回归值。若某人37岁，则其体内脂肪含量的百分比约为多少？答：将x＝37代入方程＝0.577x－0.448，得0.577×37－0.448＝20.901。所以其体内脂肪含量的百分比约为20.901%。（三）例题探究例　有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：摄氏温度/℃－5

9、04712151923273136热饮杯数15615013212813011610489937654(1)画出散点图；(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；(3)求回归方程；(4)如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数。解　(1)散点图如图所示：(2)从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式求出回归方程的系数。利用计算器容易求得回归方程＝－2.352x＋147.

10、767。(4)当x＝2时，＝143.063。因此，某天的气温为2℃时，这天大约可以卖出143杯热饮。反思与感悟　对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数a，b的计算公式，算出a，b.由于