专题2.9 函数与方程（教学案）-2014年高考数学（理）一轮复习精品资料（原卷版）

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1、1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)的零点(zeropoint).(2)几个等价关系方程f(x)=0有实数根Û函数y=f(x)的图象与x轴有交点Û函数y=f(x)有零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)注意：①上述判定方法中在区间(a，b)内的零点不一定唯一；②逆命题不成立；③对于，我们无法判定函数在区间)内是否有零点．3．用二分法求方程近似解(1)二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间

2、的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：第1步，确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；第2步，求区间(a，b)的中点c；第3步，计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；学科网学易学生平台，专为高三考生打造，学易，让学习更容易！学易平台，诚邀各地代理，有意者，敬请联系!9联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-584252

3、55/6/7传真：010-89313898③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．第4步，判断是否达到精确度ε.即：若

4、a－b

5、<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.【高频考点突破】考点一　函数零点的求解与判断　例1、(1)函数f(x)＝xcos2x在区间[0，2π]上的零点的个数为(　　)A．2B．3C．4D．5(2)[设函数f(x)＝x－lnx，则函数f(x)(　　)A．在区间，(1，e)内均有零点B．在区间，(1，e)内均无零点C．在区间内有零点，在(1，e)内无零点D．在区间内无零点，在(1，e)内有零

6、点【归纳总结】函数零点的判断方法：①直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【变式探究】(1)函数f(x)＝x3－2x2＋x的零点是(　　)A．0B．1C．0和1D．(0，0)和(1，0)(2)函数f(x)＝3x－log2(

7、－x)的零点个数是(　　)A．0B．1C．2D．3【答案】(1)C　(2)B【解析】(1)令f(x)＝0，即x3－2x2＋x＝0，即x(x－1)2＝0，解得x1＝0，x2＝x3＝1.故函数f(x)的零点是0和1.学科网学易学生平台，专为高三考生打造，学易，让学习更容易！学易平台，诚邀各地代理，有意者，敬请联系!9联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898(2)由f(x)＝3x－log2(－x)＝0得3x＝log2(－x)，零点个数即是y＝3x和y＝log

8、2(－x)的图象交点的个数，在同一坐标系中分别作出y＝3x和y＝log2(－x)的图象，易知零点个数为1.故选B.考点二　函数零点的应用　例2、(1)已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a

9、程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想应用．考点三　与二次函数有关的零点分布　例3、关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m的取值范围．【点评】分二次方程有一解和二解，利用函数图象结合对称轴和端点的函数值进行综合考虑，可得到参数的范围．【特别提醒】研究二次函数的零点分布，一般情况下需要从以下三个方面考虑：①一元二次方程根的判别式．②二次函数区间端点函数值的正负．③二次函数图象的对称轴x＝－

10、与区间端点的位置关系．【变式探究】已知函数f(x)＝8x2－(m－1)x＋(m－7)．问当m学科网学易学生平