数学北师大版七年级下册5.3.3角平分线的性质

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1、5．3　简单的轴对称图形第3课时　角平分线的性质1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；(重点)2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点)一、情境导入问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线的性质【类型一】利用角平分线的性质证明线段相等如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，∠FDC＝∠BDE.试说明：(1)CF＝EB；

2、(2)AB＝AF＋2EB.解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即DE＝DC.再根据△CDF≌△EDB，得CF＝EB；(2)利用角平分线的性质可得△ADC和△ADE全等，从而得到AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行求解．解：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.∵在△CDF和△EDB中，∵∴△CDF≌△EDB(ASA)．∴CF＝EB；(2)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴∠CAD＝∠EAD，∠ACD＝∠AED＝90°.在△ADC和△ADE中，∵∴△ADC≌

3、△ADE(AAS)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条垂线段相等．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】角平分线的性质与三角形面积的综合运用如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　A．6B．5C．4D．3解析：过点D作DF⊥AC于F.∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝

4、×4×2＋AC×2＝7，解得AC＝3.故选D.方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型三】角平分线的性质与全等三角形综合如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.试说明：CE＝CF.解析：由△DEC≌△DFC得出CD平分∠EDF，根据角平分线的性质，得出CE＝CF.解：∵CD是∠ACG的平分线，∴∠ECD＝∠FCD.在△DEC和△DFC中，∵∴△DEC≌△DFC(AAS)，∠ED

5、C＝∠FDC.又∵DE⊥AC，DF⊥CG，∴CE＝CF.方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．【类型四】角平分线的性质与线段垂直平分线性质的综合运用如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.(1)找出图中相等的线段；(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可得△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根据角平分线的性质可得OE＝OF.解：(1)∵AB、CD互相垂直平

6、分，∴OC＝OD，AO＝OB，AC＝BC＝AD＝BD；(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，∵∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题【类型五】角平分线的性质与等腰三角形的性质综合的探究性问题如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D.(1)请你写出图中所有的等腰三角形；

7、(2)请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．(3)如果BC＝10，求AB＋AE的长．解析：(1)由△ABC是等腰直角三角形，BE为角平分线，可得△ABE≌△DBE，即AB＝BD，AE＝DE，所以△ABD和△ADE均为等腰三角形．由∠C＝45°，ED⊥DC，可知△EDC也是等腰三角形；(2)BE是∠ABC的平分线，AE⊥AB，DE⊥BC，根据角平分线定理可知△ABE关于BE与△DBE对称，可得出BE⊥AD；(3)根据(2)，可知△ABE关于BE与△DBE对称，且△DEC为等腰直角三角形，可推出AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10.解：(1)△ABC，△

8、ABD，△ADE，△EDC；(2)AD与BE垂直．理由如下：由BE为∠ABC的平分线，知∠ABE＝∠DBE.又∵∠BAE＝