2018_2019学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法知识归纳与达标验收（含解析）

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1、第二讲证明不等式的基本方法考情分析从近两年的高考试题来看，不等式的证明主要考查比较法与综合法，而比较法多用作差比较，综合法主要涉及基本不等式与不等式的性质，题目难度不大，属中档题．在证明不等式时，要依据命题提供的信息选择合适的方法与技巧进行证明．如果已知条件与待证结论之间的联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”“恒成立”等方式给出，可考虑用反证法．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、放缩法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．真题体验1．(2017·全国卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：(

2、1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b)＝2＋，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，

3、a＋b

4、＜

5、1＋ab

6、.解：(1)f(x)＝当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜

7、2，解得x＞－1；当－＜x＜时，f(x)＜2恒成立；当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1.所以f(x)＜2的解集M＝{x

8、－1＜x＜1}．(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.因此

9、a＋b

10、＜

11、1＋ab

12、.比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件．作差比较法证明的一般步骤是：①作差；②恒等变形；③判断结果的符号；④下结论．其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变

13、形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．[例1]　若x，y，z∈R，a>0，b>0，c>0，求证：x2＋y2＋z2≥2(xy＋yz＋zx)．[证明]　∵x2＋y2＋z2－2(xy＋yz＋zx)＝＋＋＝x－y2＋y－z2＋z－x2≥0.∴x2＋y2＋z2≥2(xy＋yz＋zx).综合法证明不等式综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立．综合法证

14、明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论．证明时要注意：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握．[例2]　设a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1.求证：(1)2ab＋bc＋ca＋≤；(2)＋＋≥2.[证明]　(1)因为1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥4ab＋2bc＋2ca＋c2，当且仅当a＝b时等号成立，所以2ab＋

15、bc＋ca＋＝(4ab＋2bc＋2ca＋c2)≤.(2)因为≥，≥，≥，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．所以＋＋≥＋＋＝a＋b＋c≥2a＋2b＋2c＝2，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立.分析法证明不等式分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效．分析法是

16、“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．[例3]　已知a>0，b>0，且a＋b＝1，求证：＋≤2.[证明]　要证＋≤2，只需证2≤4，即证a＋b＋1＋2≤4.即证≤1.也就是要证ab＋(a＋b)＋≤1，即证ab≤.∵a>0，b>0，a＋b＝1.∴1＝a＋b≥2，∴ab≤，即上式成立．故＋≤2.反证法证明不等式

17、用直接法证明不等式困难的时候，可考虑用间接证法予以证明，反证法是间接证法的一种．假设欲证的命题是“若A则B”，我们可以通过否定来达到肯定B的目的，如果只有有限多种情况，就可用反证法．用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已