高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法本讲知识归纳与达标验收同步配套教学案 新人教a版选修4-5

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1、第二讲证明不等式的基本方法　　　　　　　　　　对应学生用书P27考情分析从近两年的高考试题来看，不等式的证明主要考查比较法与综合法，而比较法多用作差比较，综合法主要涉及基本不等式与不等式的性质，题目难度不大，属中档题．在证明不等式时，要依据命题提供的信息选择合适的方法与技巧进行证明．如果已知条件与待证结论之间的联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”“恒成立”等方式给出，可考虑用反证法．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、放缩法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．真题体验1．(福建高考)设不等

2、式

3、2x－1

4、＜1的解集为M.①求集合M；②若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．解：①由

5、2x－1

6、＜1得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1，所以M＝{x

7、0＜x＜1}．②由①和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1.所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0，故ab＋1＞a＋b.2．(辽宁高考)设f(x)＝lnx＋－1，证明：(1)当x>1时，f(x)<(x－1)；(2)当11时，g′(x)＝＋－<0.非常感谢上级领

8、导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。又g(1)＝0，故g(x)<0，即f(x)<(x－1)．法二：由均值不等式，当x>1时，21时，f(x)<(x－1)．(2)法一：记h(x)＝f(x)－，当1

9、

10、谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。因此h(x)在(1,3)内单调递减，又h(1)＝0，所以h(x)<0，即f(x)<.　　　　　　　　　　对应学生用书P27比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件．作差比较法证明的一般步骤是：①作差；②恒等变形；③判断结果的符号；④下结论．其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多

11、少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．[例1]　设a，b为实数，0＜n＜1,0＜m＜1，m＋n＝1，求证：＋≥(a＋b)2.[证明]　∵＋－(a＋b)2＝－＝＝＝≥0，∴＋≥(a＋b)2.综合法证明不等式综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立．非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的

12、高度重视和支持。综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论．证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握．[例2]　已知a，b，c为△ABC的三条边，求证：a2＋b2＋c2<2(ab＋bc＋ca)[证明]　设a，b两边的夹角为θ，则由余弦定理：cosθ＝∵因为0<θ<π，∴cosθ<1.∴<1.即a2＋b2－c2<2

13、ab.同理可证：b2＋c2－a2<2bc，c2＋a2－b2<2ac.将上面三个同向不等式相加，即得：a2＋b2＋c2<2(ab＋bc＋ca)．分析法证明不等式分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的