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时间:2019-07-10
《2018_2019学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法知识归纳与达标验收(含解析)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二讲证明不等式的基本方法考情分析从近两年的高考试题来看,不等式的证明主要考查比较法与综合法,而比较法多用作差比较,综合法主要涉及基本不等式与不等式的性质,题目难度不大,属中档题.在证明不等式时,要依据命题提供的信息选择合适的方法与技巧进行证明.如果已知条件与待证结论之间的联系不明显,可考虑用分析法;如果待证的命题以“至少”“至多”“恒成立”等方式给出,可考虑用反证法.在必要的情况下,可能还需要使用换元法、放缩法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明.真题体验1.(2017·全国卷Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:(
2、1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+,所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.2.(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,b∈M时,
3、a+b
4、<
5、1+ab
6、.解:(1)f(x)=当x≤-时,由f(x)<2得-2x<
7、2,解得x>-1;当-<x<时,f(x)<2恒成立;当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1.所以f(x)<2的解集M={x
8、-1<x<1}.(2)证明:由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.因此
9、a+b
10、<
11、1+ab
12、.比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是:不等式的意义及实数比较大小的充要条件.作差比较法证明的一般步骤是:①作差;②恒等变形;③判断结果的符号;④下结论.其中,变形是证明推理中一个承上启下的关键,变
13、形的目的在于判断差的符号,而不是考虑差能否化简或值是多少,变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形的方法.[例1] 若x,y,z∈R,a>0,b>0,c>0,求证:x2+y2+z2≥2(xy+yz+zx).[证明] ∵x2+y2+z2-2(xy+yz+zx)=++=x-y2+y-z2+z-x2≥0.∴x2+y2+z2≥2(xy+yz+zx).综合法证明不等式综合法证明不等式的思维方向是“顺推”,即由已知的不等式出发,逐步推出其必要条件(由因导果),最后推导出所要证明的不等式成立.综合法证
14、明不等式的依据是:已知的不等式以及逻辑推证的基本理论.证明时要注意:作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同,应用时要先考虑是否具备应有的条件,避免错误,如一些带等号的不等式,应用时要清楚取等号的条件,即对重要不等式中“当且仅当……时,取等号”的理由要理解掌握.[例2] 设a,b,c∈R+且a+b+c=1.求证:(1)2ab+bc+ca+≤;(2)++≥2.[证明] (1)因为1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥4ab+2bc+2ca+c2,当且仅当a=b时等号成立,所以2ab+
15、bc+ca+=(4ab+2bc+2ca+c2)≤.(2)因为≥,≥,≥,当且仅当a=b=c=时等号成立.所以++≥++=a+b+c≥2a+2b+2c=2,当且仅当a=b=c=时等号成立.分析法证明不等式分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.分析法证明不等式的思维方向是“逆推”,即由待证的不等式出发,逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因),最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.当要证的不等式不知从何入手时,可考虑用分析法去证明,特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效.分析法是
16、“执果索因”,步步寻求上一步成立的充分条件,而综合法是“由因导果”,逐步推导出不等式成立的必要条件,两者是对立统一的两种方法.一般来说,对于较复杂的不等式,直接用综合法往往不易入手,因此,通常用分析法探索证题途径,然后用综合法加以证明,所以分析法和综合法可结合使用.[例3] 已知a>0,b>0,且a+b=1,求证:+≤2.[证明] 要证+≤2,只需证2≤4,即证a+b+1+2≤4.即证≤1.也就是要证ab+(a+b)+≤1,即证ab≤.∵a>0,b>0,a+b=1.∴1=a+b≥2,∴ab≤,即上式成立.故+≤2.反证法证明不等式
17、用直接法证明不等式困难的时候,可考虑用间接证法予以证明,反证法是间接证法的一种.假设欲证的命题是“若A则B”,我们可以通过否定来达到肯定B的目的,如果只有有限多种情况,就可用反证法.用反证法证明不等式,其实质是从否定结论出发,通过逻辑推理,导出与已
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