2018_2019学年高中数学第1部分第2章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.2椭圆的几何性质讲义含解析

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1、2．2.2　椭圆的几何性质建立了椭圆的标准方程后，我们就可以通过方程研究椭圆的几何性质．以方程＋＝1(a＞b＞0)为例，试着完成下列问题：问题1：方程中对x，y有限制的范围吗？提示：由＝1－≥0，得－a≤x≤a.同理－b≤y≤b.问题2：在方程中，用－x代x，－y代y，方程的形式是否发生了变化？提示：不变．问题3：方程与坐标轴的交点坐标是什么？提示：令x＝0，得y＝±b；令y＝0，得x＝±a；与x轴的交点为(a,0)，(－a,0)，与y轴的交点为(0，b)，(0，－b)．椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上

2、焦点在y轴上图形标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－a≤y≤a，－b≤x≤b顶点(±a,0)，(0，±b)(0，±a)，(±b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±c,0)(0，±c)焦距F1F2＝2c对称性对称轴x轴，y轴，对称中心(0,0)离心率e＝∈(0,1)1．椭圆的对称性椭圆的图像关于x轴成轴对称，关于y轴成轴对称，关于原点成中心对称．2．椭圆的离心率与椭圆形状变化间的关系(1)0

3、0很圆进行记忆)．(2)当e→0，c→0时，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e＝0时的特例．(3)当e→1，c→a，椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为F1F2为椭圆在e＝1时的特例．已知椭圆方程求几何性质[例1]　求椭圆81x2＋y2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率．[思路点拨]　本题中椭圆的方程不是标准形式，故先化为标准形式后求出a，b，c，再根据焦点位置写出相应的几何性质．[精解详析]　椭圆的方程可化为x2＋＝1，∴a＝9，b＝1，∴c＝＝＝4，∴椭

4、圆的长轴和短轴长分别为18,2.∵椭圆的焦点在y轴上，故其焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)，顶点坐标为A1(0，－9)，A2(0,9)，B1(－1,0)，B2(1,0)，e＝＝.[一点通]　求椭圆几何性质参数时，应把椭圆化成标准方程，注意分清焦点的位置，这样便于直观写出a，b的值，进而求出c，写出椭圆的几何性质参数．1．若椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________．解析：当m>4时，由c2＝a2－b2＝m－4，得＝.解得m＝.当m<4时，由c2＝a2－b2＝4－m，得＝，解得m＝.答案：或2

5、．求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解：椭圆方程变形为＋＝1，∴a＝3，b＝2，∴c＝＝＝.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝2，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，离心率e＝＝.由椭圆的几何性质求标准方程[例2]　求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长为20，离心率等于；(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)．[思路点拨]　先确定椭圆的焦点位置，不能确定的要分情况讨论

6、，然后设出标准方程，再利用待定系数法求出a、b、c，得到椭圆的标准方程．[精解详析]　(1)∵2a＝20，e＝＝，∴a＝10，c＝8，b2＝a2－c2＝36.由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(2)设椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1(a>b>0)．由已知a＝2b，①且椭圆过点(2，－6)，从而有＋＝1或＋＝1.②由①②得a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13.故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.[一点通]　在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点

7、所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论．一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定焦点所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长或焦距时，则不能确定焦点所在的坐标轴．3．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________________．解析：由题意得2a＝12，＝，所以a＝6，c＝3，b＝3.故椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝14．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经

8、过点M(3,2)；(2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.解：(1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a＝＋＝8，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又e＝＝，所以c＝5，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方