2018_2019学年高中数学第1部分第2章圆锥曲线与方程2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程讲义含解析

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1、2．4.1　抛物线的标准方程平面直角坐标系内，有以下点和直线A(3,0)，B(－3,0)，C(0,3)，D(0，－3)；l1：x＝－3，l2：x＝3，l3：y＝－3，l4：y＝3.问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y2＝12x.问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y2＝－12x.问题3：到定点C和定直线l3或到定点D和定直线l4距离相等的点的轨迹方程呢？提示：x2＝12y，x2＝－12y.抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程开口方向y2

2、＝2px(p＞0)x＝－向右y2＝－2px(p＞0)x＝向左x2＝2py(p＞0)y＝－向上x2＝－2py(p＞0)y＝向下1．平面内到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹是抛物线．定点F不在定直线l上，否则点的轨迹是过点F垂直于直线l的垂线．2．抛物线的标准方程有四种形式，顶点都在坐标原点，焦点在坐标轴上．由抛物线标准方程求焦点坐标和准线方程[例1]　已知抛物线的方程y＝ax2(a≠0)，求它的焦点坐标和准线方程．[思路点拨]　由题意y＝ax2，(a≠0)，可化为x2＝y，再依据抛物线的标准方

3、程得焦点和准线方程．[精解详析]　将抛物线方程化为标准方程x2＝y(a≠0)，显然抛物线焦点在y轴上，(1)当a>0时，p＝，∴焦点坐标F，准线方程y＝－.(2)当a<0时，p＝，∴焦点坐标F，准线方程y＝－，综合(1)(2)知抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点坐标是F，准线方程是y＝－.[一点通]　根据抛物线的方程求焦点坐标和准线方程时，应首先把方程化为标准形式，再分清抛物线是四种中的哪一种，然后写出焦点及准线．1．(北京高考)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方

4、程为________．解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以＝1，p＝2，准线方程为x＝－＝－1.答案：2　x＝－12．已知抛物线的方程如下，分别求其焦点坐标和准线方程．(1)x2＝4y；(2)2y2＋5x＝0.解：(1)由抛物线标准方程知抛物线焦点在y轴正半轴上，开口向上．∵p＝2，∴焦点坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1.(2)将2y2＋5x＝0变形为y2＝－x，∴2p＝，p＝，开口向左．∴焦点坐标为，准线方程为x＝.求抛物线标准方程[例2]　根据下列条件求抛物线的标准方程．(1)已知抛物

5、线的准线方程为x＝－3；(2)已知抛物线的焦点坐标是(，0)．[思路点拨]　根据题目中给出的焦点或准线，可以确定抛物线的开口方向，然后设出抛物线的标准方程．[精解详析]　(1)设抛物线标准方程为y2＝2px(p>0)，其准线方程为x＝－，则－＝－3，∴p＝6.∴抛物线标准方程为y2＝12x.(2)设抛物线标准方程为y2＝2px(p>0)焦点坐标为，∴＝，∴p＝5.∴抛物线标准方程为y2＝10x.[一点通]　待定系数法求抛物线标准方程的步骤：(1)依据题目中的条件确定抛物线的标准形式；(定形)(2)充分

6、利用数形结合确定抛物线的开口方向；(定位)(3)利用题中所给数据确定p.(定量)3．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为____________________．解析：双曲线－＝1的右顶点为(4,0)，即抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y2＝16x.答案：y2＝16x4．根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)经过点(－3，－1)；(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．解：(1)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0

7、)或x2＝－2py(p>0)．若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝；若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝.∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y.(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4,0)时，＝4，∴p＝8，此时抛

8、物线的标准方程为y2＝16x.∴所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.抛物线方程的应用[例3]　探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点的位置．[思路点拨]　建立直角坐标系，设出标准方程为y2＝2px(p>0)，然后根据条件，找出点的坐标，求出p.[精解详析]　如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x