2018_2019学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4抛物线2.4.2抛物线的几何性质讲义（含解析）苏教版

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1、2．4.2　抛物线的几何性质太阳能是最清洁的能源，太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子．太阳能灶接受面是抛物线的一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面．它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据．问题1：抛物线有几个焦点？提示：一个．问题2：抛物线有点像双曲线的一支，抛物线有渐近线吗？提示：没有．问题3：抛物线的顶点与椭圆、双曲线有什么不同？提示：椭圆有四个顶点，双曲线有二个顶点，抛物线只有一个顶点．抛物线的简单几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y

2、2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图像性　质范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点原点开口方向向右向左向上向下抛物线的性质特点：(1)抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准线，无对称中心，因此，抛物线又称为无心圆锥曲线．(2)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线．(3)抛物线的离心率定义为抛物线上的点到焦点的距离和该点到准线的距离的比，所以抛物线的离心率是确定的，为1.(4)抛物线的焦点在对称轴上，准线垂直于对称轴，焦点到准线的

3、距离为p，它是一个不变量，不随抛物线位置的变化而变化，焦点与准线分别在顶点的两侧，且它们到顶点的距离相等，均为.求抛物线的标准方程与几何性质[例1]　求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，准线是y＝－4；(2)顶点在原点，通过点(，－6)，且以坐标轴为轴．[思路点拨]　可先根据条件确定抛物线的焦点位置，从而设出抛物线的标准方程，再利用待定系数法求出标准方程．[精解详析]　(1)顶点在原点，准线是y＝－4的抛物线的标准方程可设为x2＝2py(p>0)．因为准线是y＝－4，所以p＝8.因此，所求抛物线的标准方程是x2＝16y.

4、(2)若x轴是抛物线的轴，则设抛物线的标准方程为y2＝2px，因为点(，－6)在抛物线上，所以(－6)2＝2p·，解得2p＝12，故所求抛物线的标准方程为y2＝12x.若y轴是抛物线的轴，同理可得抛物线的标准方程为x2＝－y.[一点通]　利用待定系数法求抛物线的标准方程，往往与抛物线的几何性质相联系，这就要求对抛物线的标准方程的四种形式及其对应的性质的比较、辨析、应用做到熟练，特别是开口方向、焦点坐标、准线方程等．1．已知双曲线方程是－＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．解：∵双曲线－＝1的右顶点坐标是(

5、2，0)，∴＝2，且抛物线的焦点在x轴的正半轴上．∴所求抛物线的标准方程为y2＝8x，准线方程为x＝－2.2．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36的短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．解：椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p＞0)．∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3，∴p＝6，∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其准线方程分别为x＝－3和x＝3.抛物线几何性质的应用[例2]　已知抛

6、物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为4，求此抛物线的标准方程．[思路点拨]　设出抛物线的方程，表示出△AOB的面积，利用面积列方程求解．[精解详析]　由题意，设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，焦点F(，0)，直线l：x＝，∴A、B两点坐标为(，m)、(，－m)．∴AB＝2

7、m

8、.∵△AOB的面积为4，∴·

9、

10、·2

11、m

12、＝4，∴m＝±2，∴抛物线方程为y2＝±4x.[一点通]　抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含

13、条件．例2的关键是根据对称性求出线段

14、AB

15、的长，进而通过面积求出m.3．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为________．解析：据题意知，△FPM为等边三角形，PF＝PM＝FM，∴PM⊥抛物线的准线．设P，则M(－1，m)，等边三角形边长为1＋，又由F(1,0)，PM＝FM，得1＋＝，得m＝2，∴等边三角形的边长为4，其面积为4.答案：44．(江西高考)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝_

16、_______.解析：由x2＝2py(p>0)得焦点F，准线l为y＝－，所以可求得抛物线的准线与双曲线－＝1的交点A，B，所以AB＝，则AF＝AB＝，所以＝sin，即＝，解得p＝6.答案：65．已知A、B是