2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质讲义苏教版

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1、2.4.2　抛物线的几何性质学习目标核心素养1.掌握抛物线的简单几何性质．(重点)2.会用抛物线的几何性质处理简单问题．(难点)3.直线与抛物线的公共点问题．(易错点)1.借助抛物线的几何性质，培养数学运算素养．2.通过直线与抛物线的位置关系，提升逻辑推理素养.1．抛物线的几何性质类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图象性质焦点FFFF性质准线x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下2．抛物线的焦点弦

2、、通径抛物线的焦点弦即为过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦．弦长公式为AB＝x1＋x2＋p，在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦弦长最短，A0B0＝2p，称为抛物线的通径．1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为(　　)A．x2＝±3yB．y2＝±6xC．x2＝±12yD．x2＝±6yC　[由题意知抛物线方程为x2＝±2py，且＝3，即p＝6，因此抛物线方程为x2＝±12y.]2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则

3、AB

4、＝(　　)A．10　　　B．8　　　C．6

5、　　　D．4B　[

6、AB

7、＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]3．过抛物线y2＝4x的焦点F做垂直于抛物线对称轴的直线，交抛物线于A，B两点，则线段AB的长为________．4　[易知线段AB为抛物线的通径，所以AB＝4.]4．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，

8、AF

9、＝2，则

10、BF

11、＝________.2　[F(1,0)，由抛物线定义得A点横坐标为1.∴AF⊥x轴，∴

12、BF

13、＝

14、AF

15、＝2.]依据性质求抛物线标准方程【例1】　(1)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1

16、的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．(2)已知抛物线的焦点F在x轴正半轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，若△OAB的面积等于4，则此抛物线的标准方程为________．(1)x2＝16y　(2)y2＝4x　[(1)∵双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴＝＝2，∴b＝a，∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.(2)不妨设抛物线的方程为y2＝2px，如图所示，AB是抛物线的通径，∴AB

17、＝2p，又OF＝p，∴S△OAB＝·AB·OF＝·2p·p＝p2＝4，故p＝2.∴所求抛物线方程为y2＝4x.]利用抛物线几何性质可以解决的问题1．对称性：解决抛物线的内接三角形问题．2．焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．3．范围：解决与抛物线有关的最值问题．4．焦点：解决焦点弦问题．1．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋16y2＝144的短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的标准方程为________．x2＝12y或x2＝－12y　[椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在y轴上，∴抛物线的对称轴为y轴，设抛物线的标准方程为x2＝2py

18、或x2＝－2py(p＞0)，由抛物线焦点到顶点的距离为3得＝3，∴p＝6.∴抛物线的标准方程为x2＝12y或x2＝－12y.]与抛物线有关的最值问题【例2】　求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离．[思路探究]　本题的解法有两种：法一，设P(t，－t2)为抛物线上一点，点P到直线的距离为d＝，再利用二次函数求最小距离；法二，设直线4x＋3y＋m＝0与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线相切，求出m的值后，再利用两平行线间的距离公式求最小距离．[解]　法一：设P(t，－t2)为抛物线上的点，它到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝＝＝＝2＋.∴当t

19、＝时，d有最小值.法二：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，由消去y得3x2－4x－m＝0，∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－.∴最小距离为＝＝.抛物线中最值的求解策略1．可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解，但要注意抛物线的范围．2．当条件中有关于抛物线上的点P到焦点F的距离问题，一定要考虑抛物线的定义，注意点P到F的距离与点P到准线距离的转化．2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．2　[因为抛物线的方程为y2＝4

20、x，所以焦