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时间:2019-04-15
《2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质作业苏教版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.4.2抛物线的几何性质[基础达标]1.设抛物线y2=mx的准线与直线x=1的距离为3,则抛物线的方程为________.解析:当m>0时,准线方程为x=-=-2,∴m=8,此时抛物线方程为y2=8x;当m<0时,准线方程为x=-=4,∴m=-16,此时抛物线方程为y2=-16x.∴所求抛物线方程为y2=8x或y2=-16x.答案:y2=8x或y2=-16x2.已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点.若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为________.解析:设抛物线方程为y2=2px,A
2、(x1,y1),B(x2,y2),则⇒y-y=2p(x1-x2),即·(y1+y2)=2p⇒2p=1×4⇒p=2.故y2=4x.答案:y2=4x3.设O是坐标原点,F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,A是抛物线上的一点,与x轴正向的夹角为60°,则
3、
4、=________.解析:如图,过A作AD⊥x轴于D.在Rt△AFD中,∠AFD=60°.令FD=m,则FA=2m.AD=m.根据抛物线的定义可知.p+m=2m.∴m=p.∴
5、
6、===p.答案:p4.若抛物线y2=2x上的一点M到坐标原点O的距离为,则M到该抛物线焦点的距离为_______
7、_.解析:依题意,设点M(x,y),其中x>0,则有,由此解得x=1,又该抛物线的准线方程为x=-,结合抛物线的定义,点M到该抛物线的焦点的距离等于1+=.答案:5.直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为________.解析:直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,联立方程组得,消元得x2-10x+9=0,解得,和,∴AP=10,BQ=2,PQ=8,∴梯形APQB的面积为48.答案:486.如图,
8、圆形花坛水池中央有一喷泉,水管OP=1m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面2m,P距抛物线对称轴1m,则为使水不落到池外,水池直径最小为________m.解析:如图,建立平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则P(-1,-1),代入抛物线方程得p=,抛物线x2=-y,代入点(x,-2),得x=,即水池半径最小为r=(1+)m,水池直径最小为2r=(2+2)m.答案:2+27.已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过点F且垂直于x轴,l与抛物线交于A、B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积等于4
9、,求此抛物线的标准方程.解:由题意,抛物线方程为y2=2px(p≠0),焦点F,直线l:x=,∴A、B两点坐标为,,∴AB=2
10、p
11、.∵△OAB的面积为4,∴··2
12、p
13、=4,∴p=±2.∴抛物线的标准方程为y2=±4x.8.如图,过抛物线y2=x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB,AC交抛物线于B,C两点,求证:直线BC的斜率是定值.证明:设kAB=k(k≠0),∵直线AB,AC的倾斜角互补,∴kAC=-k(k≠0),∵直线AB的方程是y=k(x-4)+2.由方程组消去y后,整理得k2x2+(-8k2+4k-1)x+16k2-1
14、6k+4=0.∵A(4,2),B(xB,yB)是上述方程组的解.∴4·xB=,即xB=,以-k代换xB中的k,得xC=,∴kBC=====-,∴直线BC的斜率为定值.[能力提升]1.等腰直角三角形OAB内接于抛物线y2=2px(p>0),O是抛物线的顶点,OA⊥OB,则△OAB的面积为________.解析:设等腰直角三角形OAB的顶点A(x1,y1)、B(x2,y2),则y21=2px1,y22=2px2,由OA=OB,则x+y=x+y,∴x-x+2px1-2px2=0,即(x1-x2)(x1+x2+2p)=0,∵x1>0,x2>0,2p
15、>0,∴x1=x2,即A、B关于x轴对称.故直线OA的方程为:y=xtan45°,即y=x.由,解得,(舍)或,故AB=4p,等腰三角形OAB的面积为×2p×4p=4p2.答案:4p22.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:①焦点在y轴上;②焦点在x轴上;③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;④抛物线的通径的长为5;⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).其中能得出抛物线方程为y2=10x的条件是________(要求填写合适条件的序号).解析:在①②两个条件中,应选择②,则由题意,可设抛物线方程为y2=2px(p>
16、0);对于③,由焦半径公式r=1+=6,∴p=10,此时y2=20x,不符合条件;对于④,2p=5,此时y2=5x,不符合题意;对于⑤,设焦点为,则由题意,满足·=-1.解得p=
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