2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质学案.docx

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1、2．4．2　抛物线的简单几何性质　1．了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．　2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．抛物线的简单几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦点准线方程x＝－x＝y＝－y＝对称轴x轴y轴顶点(0，0)离心率e＝1抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异(1)它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；(2)顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线

2、有2个顶点，抛物线只有1个顶点；(3)焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；(4)离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是01，抛物线的离心率是e＝1；(5)椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线关于顶点对称．(　　)(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．(　　)(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(　　)(4)抛物线x2＝4y，y2＝4x的x，y的范围是不同的，但是其焦点到准线的

3、距离是相同的，离心率也相同．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√抛物线2y＝3x2的准线方程为(　　)A．y＝－　　　　　　　　B．y＝－C．y＝－D．y＝－1答案：A顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是(　　)A．x2＝±3yB．y2＝±6xC．x2＝±12yD．x2＝±6y答案：C抛物线y＝2px2(p>0)的对称轴为________．答案：y轴探究点1　抛物线的几何性质　(1)等腰Rt△ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的

4、面积是(　　)A．8p2　　　　　　　　　　　B．4p2C．2p2D．p2(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，求这条抛物线的方程．【解】　(1)选B．由抛物线的对称性质及OA⊥OB知，直线OA的方程为y＝x，由得A(2p，2p)，则B(2p，－2p)，所以

5、AB

6、＝4p，所以S△ABO＝·4p·2p＝4p2，选择B．(2)设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，交点A(x1，y1)(y1>0)，B(x2，y2)(y2<0)，则

7、y1

8、＋

9、y2

10、

11、＝2，即y1－y2＝2．(*)由对称性，知y2＝－y1，代入(*)式，得y1＝，把y1＝代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以点(1，)在抛物线y2＝2px上，点(－1，)在抛物线y2＝－2px上，得3＝2p或3＝－2p×(－1)，所以p＝．故所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x．把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间、准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称

12、为通径)长为2p；离心率恒等于1．　　已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2，－2)，则它的标准方程为________．解析：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2，－2)，所以可设它的标准方程为y2＝2px(p＞0)．因为点M在抛物线上，所以(－2)2＝2p·2，即p＝2．因此，所求抛物线的标准方程是y2＝4x．答案：y2＝4x探究点2　抛物线的焦点弦问题　已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．若直线l的倾斜角为60°，求

13、AB

14、的值．【解】　因为直线l的

15、倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝．又F，所以直线l的方程为y＝．联立消去y得x2－5x＋＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，而

16、AB

17、＝

18、AF

19、＋

20、BF

21、＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，所以

22、AB

23、＝5＋3＝8．[变条件]若本例中“直线l的倾斜角为60°”改为“直线l垂直于x轴”，求

24、AB

25、的值．解：直线l的方程为x＝，联立解得或所以

26、AB

27、＝3－(－3)＝6．(1)通径的定义通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径，如图所示．对于抛物线y2＝2p

28、x(p>0)，由A，B，可得

29、AB

30、＝2p，故抛物线的通径长为2p．[注意]　通径是所有焦点弦中最短的弦．(2)过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

31、AB

32、＝x1＋x2＋p，然后利用弦所在直线方程与抛物