浙江专用2019高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形学案

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1、第2讲　三角恒等变换与解三角形高考定位　1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真题感悟1.(2018·全国Ⅲ卷)若sinα＝，则cos2α＝(　　)A.B.C.－D.－解析　cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.答案　B2.(2018

2、·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　)A.B.C.D.解析　根据题意及三角形的面积公式知absinC＝，所以sinC＝＝cosC，所以在△ABC中，C＝.答案　C3.(2018·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sinB＝________，c＝________.解析　因为a＝，b＝2，A＝60°，所以由正弦定理得sinB＝＝＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA可得c2－2c－3＝0，所以c＝

3、3.答案　　34.(2017·浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________.15解析　依题意作出图形，如图所示，则sin∠DBC＝sin∠ABC.由题意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2，则sin∠ABC＝，cos∠ABC＝.所以S△BDC＝BC·BD·sin∠DBC＝×2×2×＝.因为cos∠DBC＝－cos∠ABC＝－＝＝，所以CD＝.由余弦定理，得cos∠BDC＝＝.答案　　考点整合1.三角函

4、数公式(1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.(2)诱导公式：对于“±α，k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α±β)＝cosαcosβsinαsinβ；tan(α±β)＝.(4)二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(5)辅助角公式：asinx＋bcosx＝si

5、n(x＋φ)，其中tanφ＝.2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式(1)正弦定理在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)；变形：a＝2RsinA，sinA＝，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等.(2)余弦定理15在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA；变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝.(3)三角形面积公式S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB.热点一　三角恒等变换及应用【例1】(1)(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴

6、重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝，则

7、a－b

8、＝(　　)A.B.C.D.1(2)若tanα＝2tan，则＝(　　)A.1B.2C.3D.4(3)如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC＝α.若

9、BC

10、＝1，则cos2－sin·cos－的值为________.解析　(1)由题意知cosα>0.因为cos2α＝2cos2α－1＝，所以cosα＝，sinα＝±，得

11、tanα

12、＝.由题意知

13、tanα

14、＝，所以

15、a－b

16、＝.故选B.(2)

17、＝＝＝＝＝＝3.(3)由题意得

18、OC

19、＝

20、OB

21、＝

22、BC

23、＝1，从而△OBC为等边三角形，15所以sin∠AOB＝sin＝，所以cos2－sincos－＝·－－＝－sinα＋cosα＝sin＝.答案　(1)B　(2)C　(3)探究提高　1.解决三角函数的化简求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示(1)当已知角有两个时，“所求角”一般表示为“两个已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.求角问题要注意角的范围，要

24、根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.【训练1】(1)(2018·全国Ⅱ卷)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.(2)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sinα＝，则cos(α－β)＝________.(3)(2018·湖州质检)若cos(2α－β)＝－，s