浙江专用2019高考数学二轮复习专题一三角函数解三角形与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形学案

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1、第2讲　三角恒等变换与解三角形[考情考向分析]　正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算.2.三角形形状的判断.3.面积的计算.4.和三角函数的图象、性质有关的参数的范围问题．热点一　三角恒等变换1．三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”．2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降次与升次：正用

2、二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．(4)弦、切互化：一般是切化弦．例1　(1)若cos＝，则cos等于(　　)A.B．－C.D．－答案　D解析　∵cos＝，∴cos＝sin＝sin＝，∴cos＝1－2sin2＝－.(2)已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β等于(　　)A.B.C.D.答案　C解析　因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.又sinα＝，所以cosα＝，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝.所以β

3、＝.思维升华　(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．跟踪演练1　(1)已知cos＝3sin，则tan＝________.答案　2－4解析　∵cos＝3sin，∴－sinα＝－3sin，∴sinα＝3sin＝3sinαcos＋3cosαs

4、in＝sinα＋cosα，∴tanα＝，又tan＝tan＝＝＝2－，∴tan＝＝＝2－4.(2)若＝sin2θ，则sin2θ等于(　　)A.B．－C.D．－答案　B解析　由题意得＝＝2(cosθ＋sinθ)＝sin2θ，将上式两边分别平方，得4＋4sin2θ＝3sin22θ，即3sin22θ－4sin2θ－4＝0，解得sin2θ＝－或sin2θ＝2(舍去)，所以sin2θ＝－.热点二　正弦定理、余弦定理1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，sinA＝，

5、sinB＝，sinC＝，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝.例2　(2017·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋cosA＝0，a＝2，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．解　(1)由已知可得tanA＝－，所以A＝.在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即28＝4＋c2－4c·cos，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(

6、舍去)或c＝4.所以c＝4.(2)由题设可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.故△ABD的面积与△ACD的面积的比值为＝1.又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，所以△ABD的面积为.思维升华　关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．跟踪演练2　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝60°，c＝8.(1)若点M，N是线段BC的两个三等分点，

7、BM＝BC，＝2，求AM的值；(2)若b＝12，求△ABC的面积．解　(1)由题意得M，N是线段BC的两个三等分点，设BM＝x，则BN＝2x，AN＝2x，又B＝60°，AB＝8，在△ABN中，由余弦定理得12x2＝64＋4x2－2×8×2xcos60°，解得x＝2(负值舍去)，则BM＝2.在△ABM中，由余弦定理，得AB2＋BM2－2AB·BM·cosB＝AM2，AM＝＝＝2.(2)在△ABC中，由正弦定理＝，得sinC＝＝＝.又b>c，所以B>C，则C为锐角，所以cosC＝.则sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC

8、＝×＋×＝，所以△ABC的面积S＝bcsinA＝48×＝24＋8.热点三　解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的