2019届高考数学二轮复习专题一三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形学案理

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1、第2讲　三角恒等变换与解三角形高考定位　1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真题感悟1.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)A.4B.C.D.2解析　因为cos＝，所以cosC＝2cos2－1＝2×－1＝－.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cosC＝52＋12－2×5×1×＝32.所

2、以AB＝4.答案　A2.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈，tanα＝2，则cos＝________.解析　∵α∈，且tanα＝2，∴sinα＝2cosα，又sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝，cosα＝.所以cos＝(cosα＋sinα)＝.答案　3.(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝2，求BC.解　(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin∠ADB＝.由题设知，∠ADB<90°，14所以cos∠ADB＝＝.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠

3、ADB＝.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25.所以BC＝5.4.(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cosβ的值.解　(1)由角α的终边过点P，得sinα＝－，所以sin(α＋π)＝－sinα＝.(2)由角α的终边过点P，得cosα＝－，由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.由β＝(α＋β)－α得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ

4、＝－或cosβ＝.考点整合1.三角函数公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；tan(α±β)＝.(2)二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.14(3)辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中tanφ＝.2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式(1)正弦定理在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)；变形：a＝2RsinA，sinA＝，a∶b∶c＝sinA∶s

5、inB∶sinC等.(2)余弦定理在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA；变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝.(3)三角形面积公式S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB.热点一　三角恒等变换及应用【例1】(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值.解　(1)因为tanα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).又因为co

6、s(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝，所以tan2α＝＝－，14因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.探究提高　1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.2.解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角.(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示.(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.【训练1】(1)(2018·广西三市联考)已知x∈(0，π

7、)，且cos＝sin2x，则tan等于(　　)A.B.－C.3D.－3(2)若cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0<β<<α<，则α＋β的值为________.解析　(1)由cos＝sin2x得sin2x＝sin2x，又x∈(0，π)，则tanx＝2，故tan＝＝.(2)因为cos(2α－β)＝－且<2α－β<π，所以sin(2α－β)＝.因为sin(α－2β)＝且－<α－2β<，所以cos(α－2β)＝.所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2