2018_2019学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充学案苏教版选修

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1、3.1　数系的扩充学习目标　1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．知识点一　复数的概念及代数表示思考　为解决方程x2＝2在有理数范围内无解的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答案　设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，则方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．梳理　(1)虚数单位i引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：①i2＝－1.②实数可以与i进行

2、四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．(2)复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数．全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C.(3)复数的代数形式复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部．知识点二　复数的分类1．复数(a＋bi，a，b∈R)102．集合表示：知识点三　两个复数相等的充要条件思考1　由4>2能否推出4＋i>2＋i?答案　不能．当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．思考2　两个复数能不能判断相等或不等呢？答案　能．梳理　在复数

3、集C＝{a＋bi

4、a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.1．复数z＝3i－，则它的实部是3，虚部是－.(　×　)2．实部为零的复数一定是纯虚数．(　×　)3．若复数z＝m＋ni，则m，n一定是复数z的实部和虚部．(　×　)4．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(　√　)类型一　复数的概念例1　(1)给出下列命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0；④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；⑤实数集的补

5、集是虚数集．其中真命题的序号为________．(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．答案　(1)③⑤　(2)±，5解析　(1)令z＝i∈C，则i2＝－1<0，故①不正确；10②中2i－1的虚部应是2，故②不正确；④当a＝0时，ai＝0为实数，故④不正确；∴只有③⑤正确．(2)由题意知∴a＝±，b＝5.反思与感悟　(1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚

6、数是复数的两大构成部分．(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．跟踪训练1　下列命题：①1＋i2＝0；②若a∈R，则(a＋1)i为纯虚数；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；④两个虚数不能比较大小．是真命题的为________．(填序号)答案　①④解析　②当a＝－1时，(a＋1)i＝0，所以②错；③当x＝i，y＝1时，x2＋y2＝0，所以③错．①④正确．类型二　复数的分类例2　求当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i分别是：(1)虚数；(2)纯虚数．解　(

7、1)复数z是虚数的充要条件是⇔m≠－3且m≠－2.∴当m≠－3且m≠－2时，复数z是虚数．(2)复数z是纯虚数的充要条件是⇔⇔m＝3.∴当m＝3时，复数z是纯虚数．10引申探究1．若本例条件不变，m为何值时，z为实数．解　由已知得，复数z的实部为，虚部为m2＋5m＋6.复数z是实数的充要条件是⇔⇔m＝－2.∴当m＝－2时，复数z是实数．2．已知i是虚数单位，m∈R，复数z＝＋(m2－2m－15)i，则当m＝________时，z为纯虚数．答案　3或－2解析　由题意知解得m＝3或－2.反思与感悟　利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条

8、件，可列方程或不等式求参数．跟踪训练2　实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解　(1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，m－1≠0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.类型三　复数相等例3　已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．解　∵M＝{1，(m2

9、－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，且M∪P＝P，∴MP，即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1