2018_2019学年高中数学第二章平面向量3.1数乘向量学案北师大版必修

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1、3．1　数乘向量内容要求　1.掌握向量数乘的运算及其运算律(重点).2.理解数乘向量的几何意义(重点).3.掌握向量共线的判定定理和性质定理(难点)．知识点1　数乘向量的概念与运算律(1)数乘向量：①定义：λa是一个向量；②长度：λ

2、a

3、；③方向：(2)数乘向量的运算律：①λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)；②(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)；③λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)．【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若λa＝0则λ＝0.(×)(2)若a、b是非零向量，λ，μ∈R

4、.那么λa＋μb＝0⇔λ＝μ＝0.(√)(3)0·＝0.(×)知识点2　向量共线的判定定理与性质定理(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa.【预习评价】1．若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？提示　不一定，若b＝0，此时必有a∥b，b∥c成立，但a与c不一定共线．2．如果向量a，b共线，一定有b＝λa(λ∈R)吗？提示　不一定．当a＝0，b≠0时，λ不存在.题型一　向量数乘的定

5、义【例1】　已知a、b为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由．10(1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；(2)－2a的方向与3a的方向相反，且－2a的模是3α模的倍；(3)－2a与2a是一对相反向量；(4)a－b与－(b－a)是一对相反向量．解　(1)真命题．∵2a＝a＋a与a方向相同，且

6、2a

7、＝

8、a＋a

9、＝

10、a

11、＋

12、a

13、＝2

14、a

15、.(2)真命题．∵－2a＝(－a)＋(－a)与－a同方向，3a＝a＋a＋a与a同方向，由于－a与a反方向，故－2a与3a反方向，又∵

16、－2a

17、＝

18、2

19、a

20、，

21、3a

22、＝3

23、a

24、，所以－2a的模是3a模的倍．(3)真命题．∵－2a＋2a＝(－2＋2)a＝0，故－2a与2a是一对相反向量．(4)假命题．∵－(b－a)与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向量，∴－(b－a)与a－b是相等的．规律方法　对数乘向量的四点说明(1)λa的实数λ叫作向量a的系数．(2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小．(3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0.(4)向量的运算不满足消去律，不能除以一个向量．【训练1】　已知

25、λ，μ∈R，则在下列各命题中，正确的命题有(　　)①λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反；②λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同；③λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同；④λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反．A．1个　B．2个C．3个D．4个解析　由λ与向量a的积λa的方向规定，易知①②正确，对于命题③④，当λμ＞0时，λ，μ同正或同负，∴λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，∴λa与μa同向，当λμ＜0时，则λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，∴λa与μ

26、a反向，故③④也正确．答案　D题型二　向量的线性运算【例2】　计算下列各式：(1)4(a＋b)－3(a－b)；10(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)；(3)(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)．解　(1)4(a＋b)－3(a－b)＝4a－3a＋4b＋3b＝a＋7b.(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)＝3a－6b＋3c－2a－b＋3c＝a－7b＋6c.(3)(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝a－b－a－b＋a＋b＝a＋b＝0a＋0b＝0＋0＝0.规律方法　向量的线性

27、运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．【训练2】　若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的结果为(　　)A．－aB．－4bC．cD．a－b解析　3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b＋c)＝a－2a＝－a.答案　A方向1　证明向量共线【例3－1】　已知两个非零向量a与b不共线，如果＝a＋b，＝2a＋8b，＝2a－4b，求证：A、B、D三点共线

28、．证明　因为＝＋＝(2a＋8b)＋(2a－4b)＝4a＋4b＝4(a＋b)＝4，所以根据平行向量基本定理，与共线．又因为与有公共点B，所以A、B、D三点共线．10方向2　利用向量共线求参数值【例3－2】　若a、b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同，则实数t为何值时，a、tb、(a＋b)三向量的终点在同一直线上？解　由题设易知，存在唯一实数λ，使a－tb＝λ，化简，得a＝b.∵a与b不共线，∴解得故当t＝时，三向量的终点共线．方向3　共