高中数学 第二章 平面向量 2.3 从速度的倍数到数乘向量 2.3.1 数乘向量导学案 北师大版必修4

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1、2.3.1　数乘向量问题导学1．数乘向量的定义理解活动与探究1已知a，b是两个非零向量，判断下列各说法是否正确，并说明理由．(1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；(2)－2a的方向与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的；(3)－2a与2a是一对相反向量；(4)a－b与－(b－a)是一对相反的向量．迁移与应用已知λ，μ∈R，则在以下各命题中，正确的命题共有(　　)．(1)当λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反；(2)当λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同；(3)当λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同；(4)当λμ＜0，a≠

2、0时，λa与μa的方向一定相反．A．1个B．2个C．3个D．4个数乘向量定义的几点说明：(1)数乘向量仍是一个向量．λa中的实数λ叫做向量a的系数．(2)实数与向量可以求积，但不能进行加减运算．(3)2．向量的线性运算及线性表示活动与探究2(1)计算下列各式：①3(a－2b＋c)－(2c＋b－a)；②(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)．(2)设x，y是未知向量．①解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0；②解方程组迁移与应用1．计算下列各式：(1)3(2a－b)－2(4a－3b)；(2)(4a＋3b)－(3a－b)－b；(3)2(3a－4b＋c)－3(2

3、a＋b－3c)．2．已知向量a，b不共线．(1)实数x，y满足等式3xa＋(10－y)b＝(4y＋7)a＋2xb，求出x，y的值；(2)把满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b的向量x，y用a，b表示出来．向量的线性运算及解含未知向量方程(组)的方法：(1)向量的线性运算要遵循数乘向量的运算律．(2)多项式运算中去括号、合并同类项、提取公因式等方法仍然适应于向量的线性运算．(3)解实数方程(组)的移项、加减消元、代入消元法可应用于解含未知向量的方程或方程组．3．向量共线的判定定理与性质定理的应用活动与探究3设两个非零向量e1和e2不共线．(1)如果＝e1－e2，

4、＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线；(2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝2e1－ke2，且A，C，D三点共线，求k的值．迁移与应用已知两个非零向量a，b不共线，＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b．(1)证明A，B，C三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线．活动与探究4如图，ABCD为一个四边形，E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．迁移与应用证明：连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半．共线向量定理的应用(1)共线向量的判定定理与性质定理，可直接用于

5、判断两向量是否共线或根据向量共线确定参数的取值．(2)共线向量的判定定理为证明三点共线和两直线平行提供了一种方法．①证明三点共线，即转化为有公共点的两条有向线段表示的向量共线；②证明两直线平行，则是转化为无公共点的两直线上的有向线段所表示的向量共线．当堂检测1．(2a－b)－(2a＋b)等于(　　)．A．a－2bB．－2bC．0D．b－a2．已知λ，μ∈R，下面式子正确的是(　　)．A．λa与a同向B．0·a＝0C．(λ＋μ)a＝λa＋μaD．若b＝λa，则

6、b

7、＝λ

8、a

9、3．点C在直线AB上，且＝3，则等于(　　)．A．－2B．C．－D．24．已知e1，e2

10、不共线，a＝ke1＋e2，b＝e1＋ke2，当k＝________时，a，b共线．5．如图所示，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，AC，BC的中点，求证：四边形BDEF为平行四边形．　　提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。答案：课前预习导学【预习导引】1．(1)向量　λa　(2)

11、λ

12、

13、a

14、　(3)相同　相反　0　0　(4)伸长　压缩　伸长　

15、λ

16、　缩短　

17、λ

18、　(5)②λa＋μa　③λa＋λb预习交流1　提示：(1)向量的线性运算包括向量的加法、减法、实数与向量的积．(2)向量线性运算的结果是向量，实

19、数和代数式运算的结果是实数或代数式，尽管它们的运算律形式上相似，但其意义却迥然不同．因此在类比实数的运算律学习向量的有关运算律时务必经过严格证明后方可使用．预习交流2　原式＝(4－3)a＋(－4－3－1)b＝a－8b.2．(1)b＝λa　(2)b＝λa预习交流3　提示：若a＝0，当b＝0时，λ的值不唯一；当b≠0时，不存在λ使b＝λa.预习交流4　　－课堂合作探究【问题导学】活动与探究1　解：(1)正确．∵2＞0，∴2a与a的方向相同．又

20、2a

21、＝2

22、a

23、，∴(1)正确．(2)正确．∵5＞0，∴5a与a方向相同，且

24、5a

25、＝5

26、a

27、.而－2＜0，∴－2a与a的

28、方向相反，且

29、2a

30、＝2

31、a

32、.∴－2