2016_2017学年高中数学第二章平面向量2.3.1数乘向量学案北师大版必修4

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1、§3　从速度的倍数到数乘向量3.1　数乘向量1．理解向量的数乘运算及其几何意义．(重点)2．理解向量共线定理，并应用其解决相关问题．(难点)3．会利用向量共线定理判断三点共线及线线平行．(易混点)[基础·初探]教材整理　数乘向量阅读教材P82～P84“例3”以上部分，完成下列问题．1．数乘向量及运算律(1)向量数乘的定义一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.它的长度和方向规定如下：①

2、λa

3、＝

4、λ

5、

6、a

7、；②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.(2)向量数乘的运算律设a，b为向量，λ，μ为实数，则向

8、量数乘满足：①结合律：λ(μa)＝(λμ)a；②分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.2．共线向量定理(1)判定定理a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．(2)性质定理若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数λ与向量a的积还是向量．(　　)(2)实数λ与向量a的和λ＋a与差λ－a都是向量．(　　)(3)对于非零向量a，向量－6a与向量2a方向相反．(　　)(4)向量－8a的模是向量4a的模的2倍．(　　)(5)若b＝λa(a≠0)，则

9、a与b方向相同或相反．(　　)(6)若a∥b，则存在λ∈R，使得b＝λa.(　　)【解析】　由数乘向量的意义知，(1)正确，(2)错误，(3)正确，(4)正确；(5)当b＝0时，不能判断方向相同或相反，因而(5)错误；(6)当a＝0，b≠0时，就不存在实数λ，使b＝λa，故(6)错误．【答案】　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________解惑：______

10、_____________________________________________________疑问2：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________疑问3：_________________________________________________________解惑：__________________________________________

11、_________________[小组合作型]向量的线性运算　计算：(1)3(6a＋b)－9；(2)－2；(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.【精彩点拨】　根据向量加法、减法、数乘的运算法则进行运算．【自主解答】　(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.(2)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.1．向量数乘的运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看成向量的系数．2．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当做未知

12、量，利用解代数方程的方法求解．[再练一题]1．化简：(1)5(3a－2b)＋4(2b－3a)；(2)(a＋2b)＋(3a－2b)－(a－b)．【解】　(1)5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝15a－10b＋8b－12a＝3a－2b.(2)(a＋2b)＋(3a－2b)－(a－b)＝a＋b＝a＋b.向量共线定理及应用　已知e1，e2是不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e0，判断a与b是否共线？【精彩点拨】　利用向量共线定理进行判断．【自主解答】　若a与b共线，则存在λ∈R.使a＝λb，即3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)，所以(3－6λ)e1＋

13、(4＋8λ)e2＝0.因为e1与e2不共线，所以所以λ不存在．所以a与b不共线．1．本题充分利用了向量共线定理，即b与a(a≠0)共线⇔b＝λa，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．2．向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．[再练一题]2．设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.(1)求证：A，B，D三点共线．(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．【解】　(1)证明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－

14、4e2.∵＝2e1－8e2，∴＝2，又与有公共点B.