2020_2021学年高中数学第二章平面向量2.3.1数乘向量学案含解析北师大版必修4.doc

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1、3 从速度的倍数到数乘向量3.1 数乘向量考 纲 定 位重 难 突 破1.掌握数乘向量的运算及其几何意义.2.理解两个向量共线的含义,掌握向量共线的判定定理和性质定理.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.重点:1.向量数乘的意义及运算律的掌握.2.共线向量定理的应用.难点:利用共线向量定理解决几何图形问题.授课提示:对应学生用书第40页[自主梳理]1.数乘向量(1)定义:实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa.(2)长度:

2、λa

3、=

4、λ

5、

6、a

7、.(3)方向:

8、λa

9、的方向2.λa的几何意义将表示向量a的有

10、向线段伸长或压缩,当

11、λ

12、>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的

13、λ

14、倍;当

15、λ

16、<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的

17、λ

18、倍.3.数乘向量的运算律(1)λ(μa)=(λμ)a;(λ,μ∈R)(2)(λ+μ)a=λa+μa;(λ,μ∈R)(3)λ(a+b)=λa+λb.(λ∈R)4.向量共线的判定定理和性质定理(1)判定定理:a是一个非零向量,若存在一个实数λ,使得b=λa,则向量b与非零向量a共线.(2)性质定理:若向量b与非

19、零向量a共线,则存在一个实数λ,使得b=λa.5.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性的运算,对于任意向量a、b,以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a+λμ2b.[双基自测]1.4(a-b)-3(a+b)-b等于(  )A.a-2b         B.aC.a-6bD.a-8b解析:原式=(4-3)a+(-4-3-1)b=a-8b.答案:D2.点C是线段AB的中点,则有=λ,那么λ等于(  )A.0B.1C.2D.-2答案:C3.点C在线段AB上,且=,则=____

20、__,=______.解析:∵=,∴AC=AB,BC=AB,∴=,=-.答案: -授课提示:对应学生用书第41页探究一 向量的线性运算[典例1] (1)计算下列各式:①3(a-2b+c)-(2c+b-a);②(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b).(2)设x,y是未知向量.①解方程5(x+a)+3(x-b)=0;②解方程组[解析] (1)①原式=3a-6b+3c-2c-b+a=4a-7b+c.②原式=a-b-a-b+a+b=a+b=0×a+0×b=0.(2)①原方程可变为5x+5a+3x-3b=0,即8

21、x=-5a+3b,∴x=-a+b.②把第一个方程的左、右两边同乘以-2,然后与第二个方程相加,得y=-2a+b,从而y=-a+b.代入原来第二个方程得x=-a+b.∴向量的数乘运算类似于实数运算,先算小括号里面的,再算中括号里面的,将相同的向量看作同类项进行合并,向量字母就看作一般字母来运算.1.计算:(1)3(6a+b)-9(a+b);(2)[(3a+2b)-(a+b)]-2(a+b);(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.解析:(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.(2)原式=(2a

22、+b)-a-b=a+b-a-b=0.(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.探究二 向量共线的判定及应用[典例2] 设两个非零向量a与b不共线.(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;(2)已知ka+b和a+kb共线,试确定实数k.[解析] (1)证明:∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b),∴=+=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5.∴,共线.又∵它们有公共点B,∴A,B,D三点共线.(2)∵ka+b与a+kb共线,

23、∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb.∴(k-λ)a=(λk-1)b.∵a,b是不共线的两个非零向量,∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0.∴k=±1.向量共线相关问题:1.要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法和方程思想的运用.2.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.2.已知e,f为两个不共线的向量,若四边形ABCD满足=e+2f,=-4e-f,=

24、-5e-3f.(1)将用e,f表示;(2)证明:四边形ABCD为梯形.解析:(1)=++=(e+2f)+(-4e-f)+(-5e-3f)=(1-4-5)e+(2-1-3)f=-8e-2f.(2)证明:因为=-8e-2f=2(-4e-f)=2,所以根据数乘向量的定义,知与同向,且

25、

26、=2

27、

28、,所以在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD≠BC,所以四边形ABCD是梯形.探究三 向量在平面几何中的应用[典

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1、3 从速度的倍数到数乘向量3.1 数乘向量考 纲 定 位重 难 突 破1.掌握数乘向量的运算及其几何意义.2.理解两个向量共线的含义,掌握向量共线的判定定理和性质定理.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.重点:1.向量数乘的意义及运算律的掌握.2.共线向量定理的应用.难点:利用共线向量定理解决几何图形问题.授课提示:对应学生用书第40页[自主梳理]1.数乘向量(1)定义:实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa.(2)长度:

2、λa

3、=

4、λ

5、

6、a

7、.(3)方向:

8、λa

9、的方向2.λa的几何意义将表示向量a的有

10、向线段伸长或压缩,当

11、λ

12、>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的

13、λ

14、倍;当

15、λ

16、<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的

17、λ

18、倍.3.数乘向量的运算律(1)λ(μa)=(λμ)a;(λ,μ∈R)(2)(λ+μ)a=λa+μa;(λ,μ∈R)(3)λ(a+b)=λa+λb.(λ∈R)4.向量共线的判定定理和性质定理(1)判定定理:a是一个非零向量,若存在一个实数λ,使得b=λa,则向量b与非零向量a共线.(2)性质定理:若向量b与非

19、零向量a共线,则存在一个实数λ,使得b=λa.5.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性的运算,对于任意向量a、b,以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a+λμ2b.[双基自测]1.4(a-b)-3(a+b)-b等于(  )A.a-2b         B.aC.a-6bD.a-8b解析:原式=(4-3)a+(-4-3-1)b=a-8b.答案:D2.点C是线段AB的中点,则有=λ,那么λ等于(  )A.0B.1C.2D.-2答案:C3.点C在线段AB上,且=,则=____

20、__,=______.解析:∵=,∴AC=AB,BC=AB,∴=,=-.答案: -授课提示:对应学生用书第41页探究一 向量的线性运算[典例1] (1)计算下列各式:①3(a-2b+c)-(2c+b-a);②(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b).(2)设x,y是未知向量.①解方程5(x+a)+3(x-b)=0;②解方程组[解析] (1)①原式=3a-6b+3c-2c-b+a=4a-7b+c.②原式=a-b-a-b+a+b=a+b=0×a+0×b=0.(2)①原方程可变为5x+5a+3x-3b=0,即8

21、x=-5a+3b,∴x=-a+b.②把第一个方程的左、右两边同乘以-2,然后与第二个方程相加,得y=-2a+b,从而y=-a+b.代入原来第二个方程得x=-a+b.∴向量的数乘运算类似于实数运算,先算小括号里面的,再算中括号里面的,将相同的向量看作同类项进行合并,向量字母就看作一般字母来运算.1.计算:(1)3(6a+b)-9(a+b);(2)[(3a+2b)-(a+b)]-2(a+b);(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.解析:(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.(2)原式=(2a

22、+b)-a-b=a+b-a-b=0.(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.探究二 向量共线的判定及应用[典例2] 设两个非零向量a与b不共线.(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;(2)已知ka+b和a+kb共线,试确定实数k.[解析] (1)证明:∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b),∴=+=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5.∴,共线.又∵它们有公共点B,∴A,B,D三点共线.(2)∵ka+b与a+kb共线,

23、∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb.∴(k-λ)a=(λk-1)b.∵a,b是不共线的两个非零向量,∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0.∴k=±1.向量共线相关问题:1.要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法和方程思想的运用.2.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.2.已知e,f为两个不共线的向量,若四边形ABCD满足=e+2f,=-4e-f,=

24、-5e-3f.(1)将用e,f表示;(2)证明:四边形ABCD为梯形.解析:(1)=++=(e+2f)+(-4e-f)+(-5e-3f)=(1-4-5)e+(2-1-3)f=-8e-2f.(2)证明:因为=-8e-2f=2(-4e-f)=2,所以根据数乘向量的定义,知与同向,且

25、

26、=2

27、

28、,所以在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD≠BC,所以四边形ABCD是梯形.探究三 向量在平面几何中的应用[典

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