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1、第四章平面向量 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)1．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b( )A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向解析：已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，a·b＝－30＋30＝0，则a与b垂直．答案：A2．若a＝(2cosα，1)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则tanα等于( )A．2B.C．－2D．－解析：∵a∥b，∴2cosα×1＝sinα，∴tanα＝2.
2、答案：A3．若平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且
3、b
4、＝3，则b的坐标为( )A．(3，－6)B．(－3,6)C．(6，－3)D．(－6,3)解析：由题意设b＝λa＝λ(－1,2)．由
5、b
6、＝3得λ2＝9.λ＝±3.因为a与b的夹角是180°.所以λ＝－3.答案：A4．(文)设向量a与b的夹角为θ，a＝(2,1)，a＋2b＝(4,5)，则cosθ等于( )A.B.C.D.解析：设b＝(x，y)，因为a＝(2,1)，∴a＋2b＝(2,1)＋2(x，y)＝(2＋2x,1＋2y)＝(
7、4,5)，即2＋2x＝4,1＋2y＝5，解得：x＝1，y＝2，即b＝(1,2)，故cosθ＝＝＝＝.答案：D5．已知
8、a
9、＝2
10、b
11、，且b≠0，若关于x的方程x2＋
12、a
13、x－a·b＝0有两相等实数根，则向量a与b的夹角是( )A．－B．－C.D.解析：由关于x的方程有两个相等实数根可得Δ＝
14、a
15、2＋4a·b＝0⇒a·b＝－，cos〈a，b〉＝＝＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.答案：D6．(2010·深圳模拟)点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点，N是边BC的中点，则·
16、的最大值是( )A．2 B．4C．5D．6解析：建立如图所示的直角坐标系，则N(2,1)，设M(x，y)，∴·＝(2,1)·(x，y)＝2x＋y，∵0≤x≤2,0≤y≤2，∴0≤2x＋y≤6.答案：D7．(2010·安庆模拟)已知非零向量，和满足·＝0，且·＝，则△ABC为( )A．等边三角形B．等腰非直角三角形C．非等腰三角形D．等腰直角三角形解析：、、均为单位向量．由·＝0，得
17、
18、＝
19、
20、.由·＝1×1×cosC＝，得C＝45°.故三角形为等腰直角三角形．答案：D8．设两个
21、向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)，b＝(m，＋sinα)，其中λ，m，α为实数．若a＝2b，则的取值范围是( )A．[－6,1]B．[4,8]C．(－∞，1]D．[－1,6]解析：∵a＝2b，∴消去λ，得4m2－8m＋4－cos2α＝m＋2sinα，即4m2－9m＋2＝－(sinα－1)2.∵－1≤sinα≤1，∴－4≤－(sinα－1)2≤0，∴－4≤4m2－9m＋2≤0，解得≤m≤2，∴＝＝2－∈[－6,1]．答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题
22、中的横线上)9．在直角坐标系xOy中，i、j分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，＝i＋j，＝2i＋mj，则实数m＝________.解析：本题考查了向量的运算．由已知可得＝－＝i＋(m－1)j.当A＝90°时，·＝(i＋j)·(2i＋mj)＝2＋m＝0，m＝－2.当B＝90°时，·＝－(i＋j)·[i＋(m－1)·j]＝－(1＋m－1)＝－m＝0，m＝0.当C＝90°时，·＝－(2i＋mj)·[－i－(m－1)j]＝2＋m(m－1)＝m2－m＋2＝0，此时m不存在．故m＝0或
23、－2.答案：0或－2三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分12分)如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，.解：法一：设＝a，＝b，则a＝＋＝d＋(－b)，①b＝＋＝c＋(－a)，②将②代入①得a＝d＋(－)[c＋(－a)]⇒a＝d－c，代入②得b＝c＋(－)(d－c)＝c－d.故＝d－c，＝c－d.法二：设＝a，＝b.所以＝b，＝a，因而⇒，即＝(2d－c)，＝(2c－d)．1
24、1．(本小题满分12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，已知向量m＝(1,2sinA)，n＝(sinA,1＋cosA)，且满足m∥n，b＋c＝a.(1)求角A的大小；(2)求sin的值．解：(1)∵m∥n，∴1＋cosA＝2sin2A，即2cos2A＋cosA－1＝0，解得cosA＝－1(舍去)，cosA＝.又0＜A＜π，∴A＝.(2)∵b＋c＝a，∴由正弦定理可得sinB＋sinC＝sinA＝.又C＝π－(A＋B)＝－B，∴sinB＋sin＝，即sinB＋cosB＝，∴s
