浙江专版2018年高中数学课时跟踪检测五函数的单调性与导数新人教A版选修

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1、课时跟踪检测（五）函数的单调性与导数层级一　学业水平达标1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)A．y＝sinx　　　　　　　　B．y＝xexC．y＝x3－xD．y＝lnx－x解析：选B　B中，y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴y＝xex在(0，＋∞)上为增函数．对于A、C、D都存在x＞0，使y′＜0的情况．2．若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是(　　)A.B.C.D.解析：选C　y′＝3x2＋2x＋m，由条件知y′≥0在R上恒成立，∴

2、Δ＝4－12m≤0，∴m≥.3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)解析：选D　f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)＞0，解得x＞2，故选D.4.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　)解析：选C　当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＜0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数，排除A，B.当x＞1时，xf′(x

3、)＞0，∴f′(x)＞0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，排除D，故选C.5．若函数y＝a(x3－x)的单调减区间为，则a的取值范围是(　　)A．(0，＋∞)B．(－1,0)C．(1，＋∞)D．(0,1)解析：选A　y′＝a(3x2－1)＝3a.5当－＜x＜时，＜0，要使y＝a(x3－x)在上单调递减，只需y′＜0，即a＞0.6．函数f(x)＝cosx＋x的单调递增区间是________．解析：因为f′(x)＝－sinx＋＞0，所以f(x)在R上为增函数．答案：(－∞，＋∞)7．若函数y＝ax3－ax2－2ax(a≠

4、0)在[－1,2]上为增函数，则a∈________.解析：y′＝ax2－ax－2a＝a(x＋1)(x－2)>0，∵当x∈(－1,2)时，(x＋1)(x－2)<0，∴a<0.答案：(－∞，0)8．若函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是　　　　.解析：∵y′＝－4x2＋a，且y有三个单调区间，∴方程y′＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×(－4)×a>0，∴a>0.答案：(0，＋∞)9．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a，b的值

5、；(2)讨论函数f(x)的单调性．解：(1)求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，即解得a＝1，b＝－3.(2)由a＝1，b＝－3得f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．令f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞3；又令f′(x)＜0，解得－1＜x＜3.所以当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数；当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数．1

6、0．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex.设f(x)在区间[－1,1]上是单调函数，求a5的取值范围．解：f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝ex[x2＋2(1－a)x－2a]．令f′(x)＝0，即x2＋2(1－a)x－2a＝0.解得x1＝a－1－，x2＝a－1＋，令f′(x)＞0，得x＞x2或x＜x1，令f′(x)＜0，得x1＜x＜x2.∵a≥0，∴x1<－1，x2≥0.由此可得f(x)在[－1,1]上是单调函数的充要条件为x2≥1，即a－1＋≥1，解得a≥.故所求a的取值范围为.层级二　应试能

7、力达标1.已知函数f(x)＝＋lnx，则有(　　)A．f(2)0，所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数，所以有f(2)0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f′

8、(x)<0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．只有C符合题意，故选C.3．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是(　　)A.和B.和5C.和D.和解析：选A　y′＝xcosx，当－π＜x＜－时，cosx＜0，∴y′＝xcosx＞0