高中数学 课时跟踪检测（五）函数的单调性与导数 新人教a版选修

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1、课时跟踪检测(五)　函数的单调性与导数一、选择题1．函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是(　　)A．(－∞，0)　　　　　　　B．(0，＋∞)C．(－∞，－3)和(1，＋∞)D．(－3,1)解析：选D　y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝(－x2－2x＋3)ex，令(－x2－2x＋3)ex＞0，由于ex＞0，则－x2－2x＋3＞0，解得－3＜x＜1，所以函数的单调递增区间是(－3,1)．2．y＝xlnx在(0,5)上是(　　)A．单调增函数B．单调减函数C．在上减，在上增D．在上增，在上减解析：选C　∵y′＝x′·lnx＋x·(lnx)′＝lnx＋1，∴

2、当0＜x＜时，lnx＜－1，即y′＜0，∴y在上为减函数．当＜x＜5时，lnx＞－1，即y′＞0，∴y在上为增函数．3．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上的增函数的充要条件是(　　)A．b2－3ac>0B．b>0，c>0C．b＝0，c>0D．b2－3ac≤0解析：选D　∵a>0，f(x)为R上的增函数，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0对x∈R恒成立，∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac≤0，∴b2－3ac≤0.4．已知函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上均有f′(x)＜g′(x)，则下列关系式中正确的是(　

3、　)A．f(x)＋f(b)≥g(x)＋g(b)B．f(x)－f(b)≥g(x)－g(b)C．f(x)≥g(x)D．f(a)－f(b)≥g(b)－g(a)解析：选B　据题意，由f′(x)＜g′(x)得f′(x)－g′(x)＜0，故F(x)＝f(x)－g(x)在[a，b]上为单调递减函数，由单调性知识知，必有F(x)≥F(b)，即f(x)－g(x)≥f(b)－g(b)，移项整理得f(x)－f(b)≥g(x)－g(b)．5．已知函数y＝xf′(x)的图象如下图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　)解析：选C　

4、当01时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，因此A、B、D选项错误，故选C.二、填空题6．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1,2)，则b＝________，c＝________.解析：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－1＜x＜2是不等式f′(x)＜0的解，即－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个根，把－1,2分别代入方程，解得b＝－，c＝－6.答案：－　－67．函数f(x)＝x－2sinx

5、在(0，π)上的单调递增区间为________．解析：令f′(x)＝1－2cosx＞0，则cosx＜.又∈(0，π)，解得＜x＜π，所以函数的单调递增区间为.答案：8．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．解析：若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b＞0.答案：(0，＋∞)三、解答题9．若函数f(x)＝ax3＋x－5在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．解：f′(x)＝3ax2＋1.①当a＝0时，f(x)＝x－5在R上是单调递增的；②当a≠0时，f′(x)＝0的根

6、为有限个，因此要使函数f(x)在R上单调递增，只需f′(x)＝3ax2＋1≥0在R上恒成立即可，则即所以a>0.综上可知，实数a的取值范围是[0，＋∞)．10．设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.(1)若a＝，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时f(x)≥0，求实数a的取值范围．解：(1)a＝时，f(x)＝x(ex－1)－x2，f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，

7、在(－1,0)上单调递减．(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时，g(x)≥0，即f(x)≥0；若a>1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，lna)时，g(x)<0，即f(x)<0，不符合题意，故实数a的取值范围为(－∞，1]．